Парадокс колеса Аристотеля: геометрическая загадка о движении окружностей. Разбираем, почему при одинаковом обороте внешняя и внутренняя окружности проходят разное расстояние.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Древний геометрический парадокс
Ancient paradox in geometry
Парадокс колеса Аристотеля — это парадокс или проблема, возникающая в псевдоаристотелевском греческом труде «Механика». Он формулируется следующим образом: Колесо изображается в двухмерном пространстве двумя окружностями. Его большая, внешняя окружность касается горизонтальной поверхности (например, дороги, по которой оно катится), а меньшая, внутренняя, имеет тот же центр и жестко закреплена на большей (меньшая окружность может представлять собой борт шины, обод, на который она надета, или ось). Если предположить, что большая окружность совершает один полный оборот без проскальзывания, то расстояния, пройденные окружностями обоих кругов, одинаковы. Расстояние, пройденное большей окружностью, равно ее длине, но для меньшей окружности оно больше ее длины, что и создает парадокс. Парадокс не ограничивается колесами: такое же поведение демонстрируют и другие объекты, изображенные в двух измерениях, например, рулон ленты или обычная круглая бутылка или банка, катящаяся на боку (меньшая окружность в этом случае соответствует горлышку или шейке бутылки или банки). В альтернативной версии задачи меньшая окружность, а не большая, контактирует с горизонтальной поверхностью. Примеры включают обычное колесо поезда с выступом или штангу, лежащую на скамье. Американский педагог и философ Израиль Драбокин назвал эти варианты парадокса «случаем II», и к ним применим схожий, но не идентичный анализ.
Aristotle's wheel paradox is a paradox or problem appearing in the pseudo Aristotelian Greek work Mechanica. It states as follows: A wheel is depicted in two dimensional space as two circles. Its larger, outer circle is tangential to a horizontal surface (e. g. a road that it rolls on), while the smaller, inner one has the same center and is rigidly affixed to the larger. (The smaller circle could be the bead of a tire, the rim it is mounted upon, or the axle.) Assuming the larger circle rolls without slipping (or skidding) for one full revolution, the distances moved by both circles' circumferences are the same. The distance travelled by the larger circle is equal to its circumference, but for the smaller it is greater than its circumference, thereby creating a paradox. The paradox is not limited to wheels: other things depicted in two dimensions display the same behavior such as a roll of tape, or a typical round bottle or jar rolled on its side (the smaller circle would be the mouth or neck of the jar or bottle). In an alternative version of the problem, the smaller circle, rather than the larger one, is in contact with the horizontal surface. Examples include a typical train wheel, which has a flange, or a barbell straddling a bench. American educator and philosopher Israel Drabkin called these Case II versions of the paradox, and a similar, but unidentical, analysis applies.
Анализ и решения
Парадокс заключается в том, что меньший внутренний круг проходит расстояние, равное 2πR – окружности большего внешнего круга с радиусом R, а не своей собственной окружности. Если бы внутренний круг катился отдельно, он бы прошел расстояние 2πr, равное его собственной окружности с радиусом r. Однако внутренний круг не отделен, а жестко соединен с большим.
The paradox is that the smaller inner circle moves 2πR, the circumference of the larger outer circle with radius R, rather than its own circumference. If the inner circle were rolled separately, it would move 2πr, its own circumference with radius r. The inner circle is not separate but rigidly connected to the larger.
Первое решение
Если меньший круг зависит от большего (Случай I), движение большего круга вынуждает меньший круг обходить его окружность. Если больший круг зависит от меньшего (Случай II), то движение меньшего круга вынуждает больший круг обходить окружность меньшего круга. Это самое простое решение.
If the smaller circle depends on the larger one (Case I), the larger circle's motion forces the smaller to traverse the larger’s circumference. If the larger circle depends on the smaller one (Case II), then the smaller circle's motion forces the larger circle to traverse the smaller circle’s circumference. This is the simplest solution.
Второе решение
Это решение рассматривает переход от начальной к конечной позиции. Пусть Pb – точка на большем круге, а Ps – точка на меньшем круге, обе на одном радиусе. Для удобства предположим, что они оба расположены непосредственно под центром, аналогично обеим стрелкам часов, указывающим на отметку шесть. И Pb, и Ps движутся по циклоиде, катясь вместе на один полный оборот. Хотя каждый из них проходит по горизонтали расстояние 2πR от начала до конца, циклоидальный путь Ps короче и эффективнее, чем у Pb. Pb отклоняется выше и ниже центральной траектории – единственной прямой – в большей степени, чем Ps. Если бы Pb и Ps находились в любой другой точке на своих соответствующих кругах, длина их кривых путей была бы одинаковой. Таким образом, меньший круг перемещается по горизонтали на 2πR, поскольку любая точка на меньшем круге проходит более короткий и, следовательно, более прямой путь, чем любая точка на большем круге.
This solution considers the transition from the starting to ending positions. Let Pb be a point on the bigger circle and Ps be a point on the smaller circle, both on the same radius. For convenience, assume they are both directly below the center, analogous to both hands of a clock pointing towards six. Both Pb and Ps travel in a cycloid path as they roll together one revolution. While each travels 2πR horizontally from start to end, Ps's cycloid path is shorter and more efficient than Pb's. Pb travels farther above and farther below the center's path – the only straight one – than does Ps. If Pb and Ps were anywhere else on their respective circles, the curved paths would be the same length. Summarizing, the smaller circle moves horizontally 2πR because any point on the smaller circle travels a shorter, and thus more direct path than any point on the larger circle.