Кіріспе
Математикалық жиынның класы, оның элементтері барлық кіші жиындықтар. Жиын теориясында, математиканың бір саласы, жиын егер келесі эквивалентті шарттардың бірі орындалса, транзитивті деп аталады: егер және болса, және егер элемент болмаса, онда -тың кіші жиындығы болады. Сол сияқты, класс транзитивті болады, егер оның әрбір элементі -тың кіші жиындығы болса.
In set theory, a branch of mathematics, a set is called transitive if either of the following equivalent conditions hold:
whenever , and , then whenever , and is not an urelement, then is a subset of Similarly, a class is transitive if every element of is a subset of .
Қасиеттері
Жинақ транзитивті болады, егер және тек егер , онда -ның барлық жиын элементтерінің бірігуі болса.
Егер транзитивті болса, онда да транзитивті болады. Егер және транзитивті болса, онда және транзитивті болады. Жалпы, егер -ның барлық элементтері транзитивті жиынтар болса, онда және транзитивті болады. (Осы абзацтың бірінші сөйлемі - бұл жағдайды көрсетеді.) Урелементтері жоқ жиын, өзінің қуат жиынының ішкі жиыны болса ғана транзитивті болады. Урелементтері жоқ транзитивті жиынның қуат жиыны транзитивті болады.
Транзитивті жабылу
Жинақтың транзитивті жабылуы – берілген жиынды қамтитын ең кіші (көлемі бойынша) транзитивті жиын (яғни, ). Егер жиын берілген болса, онда оның транзитивті жабылуы:
Proof. Denote and Then we claim that the set
is transitive, and whenever is a transitive set including then
Assume Then for some and so Since , Thus is transitive. Now let be as above. We prove by induction that for all , thus proving that : The base case holds since Now assume Then But is transitive so , hence This completes the proof. Note that this is the set of all of the objects related to by the transitive closure of the membership relation, since the union of a set can be expressed in terms of the relative product of the membership relation with itself. The transitive closure of a set can be expressed by a first order formula: is a transitive closure of iff is an intersection of all transitive supersets of (that is, every transitive superset of contains as a subset).
Дәлелдеу. және деп белгілейік. Содан кейін, жиын транзитивті екенін және егер транзитивті жиын болса, онда үшін бар және соған байланысты, сондықтан транзитивті. Енді жоғарыда айтылғандай болсын. Біз индукция арқылы барлығы үшін дәлелдейміз, осылайша дәлелдейміз: Базалық жағдай орындалады, өйткені. Енді болсын. Бірақ транзитивті, сондықтан, демек, дәлелдеу аяқталды. Бұл мүшелік қатынасының транзитивті жабылуымен байланысты барлық объектілердің жиынтығы екенін ескеріңіз, өйткені жиынның біріктірілуін мүшелік қатынасының өзіне қатысты көбейтіндісі арқылы көрсетуге болады. Жинақтың транзитивті жабылуын бірінші реттік формуламен беруге болады: –тің транзитивті жабылуы –тің барлық транзитивті үстін жиындықтарының қиылысы (яғни, әрбір транзитивті үстін жиынтығында кіші жиынтық ретінде болады).
Proof. Denote and Then we claim that the set
is transitive, and whenever is a transitive set including then
Assume Then for some and so Since , Thus is transitive. Now let be as above. We prove by induction that for all , thus proving that : The base case holds since Now assume Then But is transitive so , hence This completes the proof. Note that this is the set of all of the objects related to by the transitive closure of the membership relation, since the union of a set can be expressed in terms of the relative product of the membership relation with itself. The transitive closure of a set can be expressed by a first order formula: is a transitive closure of iff is an intersection of all transitive supersets of (that is, every transitive superset of contains as a subset).
Жинақ теориясының транзитивті модельдері
Транзитивті кластар көбінесе жиын теориясының интерпретацияларын құру үшін қолданылады, олар әдетте ішкі модельдер деп аталады. Бұның себебі, шектелген формулалармен анықталған қасиеттер транзитивті кластар үшін абсолютті болып табылады. Жиын теориясының формальды жүйесінің моделі болатын транзитивті жиын (немесе класс) жүйенің транзитивті моделі деп аталады (егер модельдің элемент қатынасы модельдің өзінің ғаламына нақты элемент қатынасының шектеуі болса). Транзитивтілік – формулалардың абсолюттігін анықтаудағы маңызды фактор. Стандартты емес анализдің суперструктуралық тәсілінде, стандартты емес ғаламдар күшті транзитивтілікке ие.