Введение
Класс математического множества, элементы которого являются всеми подмножествами.
В теории множеств, области математики, множество называется транзитивным, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий: всякий раз, когда x принадлежит y и y принадлежит z, то всякий раз, когда x принадлежит z и z не является урелементом, то z является подмножеством y. Аналогично, класс транзитивен, если каждый элемент этого класса является подмножеством самого класса.
In set theory, a branch of mathematics, a set is called transitive if either of the following equivalent conditions hold:
whenever , and , then whenever , and is not an urelement, then is a subset of Similarly, a class is transitive if every element of is a subset of .
Свойства
Множество является транзитивным, если и только если , где — объединение всех элементов множества , которые сами являются множествами.
Если множество транзитивно, то также транзитивно. Если множества и транзитивны, то и также транзитивны. В общем случае, если — класс, все элементы которого являются транзитивными множествами, то и транзитивны. (Первое предложение в этом абзаце является частным случаем для .) Множество, не содержащее урелементов, является транзитивным тогда и только тогда, когда оно является подмножеством своего собственного множества степеней. Множество степеней транзитивного множества без урелементов является транзитивным.
Переходное закрытие
Транзитивное замыкание множества – наименьшее (по включению) транзитивное множество, которое включает (т.е. ). Предположим, задано множество , тогда транзитивное замыкание равно
Доказательство. Обозначим и . Тогда мы утверждаем, что множество
является транзитивным, и для любого транзитивного множества, включающего , выполняется . Предположим . Тогда для некоторого и, следовательно, . Поскольку , то . Таким образом, является транзитивным. Теперь пусть определено, как выше. Докажем индукцией, что для всех , что доказывает : Базовый случай выполняется, поскольку . Теперь предположим, что . Но транзитивно, поэтому , следовательно, . Это завершает доказательство. Следует отметить, что это множество всех объектов, связанных с транзитивным замыканием отношения принадлежности, поскольку объединение множеств может быть выражено через относительное произведение отношения принадлежности с самим собой. Транзитивное замыкание множества может быть выражено формулой первого порядка: является транзитивным замыканием тогда и только тогда, когда является пересечением всех транзитивных надмножеств (то есть, каждое транзитивное надмножество содержит в качестве подмножества).
Assume Then for some and so Since , Thus is transitive. Now let be as above. We prove by induction that for all , thus proving that : The base case holds since Now assume Then But is transitive so , hence This completes the proof. Note that this is the set of all of the objects related to by the transitive closure of the membership relation, since the union of a set can be expressed in terms of the relative product of the membership relation with itself. The transitive closure of a set can be expressed by a first order formula: is a transitive closure of iff is an intersection of all transitive supersets of (that is, every transitive superset of contains as a subset).
Транзитивные модели теории множеств
Транзитивные классы часто используются для построения интерпретаций теории множеств самой по себе, обычно называемых внутренними моделями. Причина в том, что свойства, определяемые ограниченными формулами, абсолютны для транзитивных классов. Транзитивное множество (или класс), являющееся моделью формальной системы теории множеств, называется транзитивной моделью этой системы (при условии, что отношение принадлежности в модели является ограничением истинного отношения принадлежности к области определения модели). Транзитивность – важный фактор, определяющий абсолютность формул. В подходе к нестандартному анализу, основанном на сверхструктурах, нестандартные вселенные обладают сильной транзитивностью.