Фракталдардың Хаусдорф өлшемі бойынша тізімі

Кіріспе

жоқ Бенуа Мандельброттың айтуынша, "фрактал – бұл Hausdorff Besicovitch өлшемі топологиялық өлшемнен қатаң түрде жоғарылайтын жиын". Фракталдың төмен немесе жоғары өлшемге ие болуын көрсету үшін, Хаусдорф өлшемі бойынша өсу ретімен реттелген фракталдар тізімі ұсынылған.

Детерминистік фракталдар

Хаусдорф өлшемдері (нақты мәні) Хаусдорф өлшемдері (шамамен) Атауы Сурет Түсіндірмелер Есептелген 0.538 Файгенбаум аттракторы Файгенбаум аттракторы (жебелер арасында қараңыз) – кезеңді екі еселеу шексіз болатын сындық параметр мәнінде логистикалық функцияны тізбектеп қайталау арқылы туындаған нүктелер жиыны. Бұл өлшем кез келген дифференциалданатын және монодальды функция үшін бірдей. 0.6309 Кантор жиыны Әр итерацияда орталық үштен бір бөлігін алып тастау арқылы құрылады. Ешқандай жерде тығыз емес және санаулы емес жиын. 0<D<1 1D жалпыланған симметриялық Кантор жиыны Ұзындығының орталық аралығын әрбір қалған аралықтан n-ші итерацияда алып тастау арқылы құрылады. Әдеттегі ортаңғы үштен бір бөлігін алып тастау Кантор жиынын тудырады. 0 мен 1 арасындағы мәнді өзгерту кез келген фракталдық өлшемді береді. 0.6942 (1/4, 1/2) асимметриялық Кантор жиыны Әр итерацияда екінші тоқсанды алып тастау арқылы құрылған. (алтын қатынас). 0.69897 Ондық цифрлары жұп сандар Кантор жиынына ұқсас. 0.88137 Фибоначчи гамильтонианының спектрі Фибоначчи гамильтонианының спектрін зерттеу үлкен байланыс режиміндегі фракталдық өлшемінің жоғарғы және төменгі шектерін көрсетеді. Бұл шекаралар спектрдің нақты тұрақтыға жақындасатынын көрсетеді. 1 Смит–Вольтерра–Кантор жиыны n-ші итерациядағы әрбір қалған аралықтан орталық аралықты алып тастау арқылы құрылады. Ешқандай жерде тығыз емес, бірақ Лебег өлшемі бар. 1 Такаги немесе Бланкманж қисығы Бірлік аралығында анықталған , мұндағы үшбұрышты толқын функциясы. Мандельброттың анықтамасы бойынша фрактал емес, себебі оның топологиялық өлшемі де Такахи Ландсберг қисығының ерекше жағдайы: Хаусдорф өлшеміне тең (Мандельброттың Хантынан келтірген). 1.0812 Джулия жиыны z² + 1/4 f(z) = z² + 1/4 функциясының Джулия жиыны. Есептелген. 1.12915 Госпер аралының контуры Мандельброт (1977) қолданған термин. Госпер аралы Госпер қисығының шегі болып табылады. Өлшенген (қобдиша санау). 1.2 Дендриттік Джулия жиыны f(z) = z² + i Джулия жиыны. 1.2083 Фибоначчи сөзінің фракталы 60° Фибоначчи сөзінен құрастырылған. Стандартты Фибоначчи сөз фракталын да қараңыз. (алтын қатынас). 1.2108 Емді қос айдаһардың шекарасы Жазықтықтағы алты 2 rep плиткасының бірі (екі бірдей өлшемдегі көшірмелерімен плиткалана алады). 1.26 Хенон картасы Канондық Хенон картасы (параметрлері a = 1.4 және b = 0.3) 1.261 ± 0.003 Хаусдорф өлшеміне ие. Әртүрлі параметрлер әртүрлі өлшемдер береді. 1.2619 Трифлейк Үш қарға қарсы қар ұсақтары, қарға қарсы қар ұсақтарының арасында Кох қар ұсақтары пайда болады. 1.2619 Кох қисығы 3 Кох қисығы Кох қар жапырағын немесе қарға қарсы қар жапырағын құрайды. 1.2619 Тердрагон қисығының шекарасы L жүйесі: дракон қисығына ұқсас, бұрыш = 30°. Фаджфлейк үшбұрышта орналасқан 3 бастапқы сегментке негізделген. 1.2619 2D Кантор шаңы Кантор жиынының 2 өлшемдегі нұсқасы. 1.2619 2D L жүйесінің тармағы 1/3 масштабталған 4 жаңа бөлігі бар L жүйесінің тармақтану үлгісі. Нақты өзіндік ұқсастық орнына статистикалық түрде үлгіні құру фракталдық өлшемді береді. 1.2683 Джулия жиыны z² – 1 f(z) = z² Джулия жиыны. 1.328 5 шеңбердің инверсиялық фракталы 5 өзара тиісті шеңберге қатысты итеративті инверсиялар арқылы туындаған шекті жиынтық (қызыл). Сондай-ақ Аполлонийлік қаптама. 1.36521 Квадраттық фон Кох аралы, 1-түрлі қисық генератор ретінде қолданылады Сондай-ақ Минковский шұжығы деп аталады. 1.3934 Дуади қоян f(z) = 0.123 + 0.745i Джулия жиыны. 1.5000 Квадраттық фон Кох қисығы (тип 2) Сондай-ақ "Минковский шұжығы" деп аталады. 1.5236 Аждаһа қисығының шекарасы cf. Чанг және Чжан. 1.6309 Сиерпинский алтыбұрышы Сиерпинский кілемшесінің үлгісі бойынша алтыбұрышты торда салынған, 1/3 қатынасымен 6 ұқсастықпен. Кох қар ұсақтары барлық масштабтарда кездеседі. 1.6379 Фибоначчи сөз фракталы Фибоначчи сөзіне (немесе Қоян тізбегіне) негізделген фрактал, Слоан A005614. Сурет: 23 қадамнан кейінгі фрактал қисығы (F23 = 28657 сегмент). (алтын қатынас). 1.6402 IFS аттракторы, 1/3, 1/2 және 2/3 қатынасымен 3 ұқсастықпен Ашық жиынтық шарты орындалса, қатынастары , болатын ұқсастықтардан тұратын итеративті функция жүйесінің аттракторы Хаусдорф өлшеміне ие, Евклидтің ықшамдалу коэффициентінің итерациялық функциясымен сәйкес келетін теңдеудің шешімі: 1.6990 50 сегменттік квадрикалық фрактал (1/10 масштабтау ережесі) 50 сегменттік генераторды (ішкі көріністі қараңыз) әр итерация үшін 1/10 масштабтау арқылы құрылған және алдыңғы құрылымның әрбір сегментін генератордың масштабталған көшірмесімен алмастыру. Көрсетілген құрылым 4 генератор бірліктерінен тұрады және 3 рет итерацияланған. Теориялық құрылымның фракталдық өлшемі: log 50/log 10 = 1.6990. ImageJ арқылы жасалған суреттер. 1.7227 Желперіш фракталы Конвейннің Желперіш плиткасымен құрылған. 1.7712 Сфинкс фракталы Сфинкс гексамонды плиткасымен құрылған, 9 суб-сфинкстің екеуі алынған. 1.7712 Гексафлейк Шекарасы фон Кох флейкі және шексіз Кох қар ұсақтарын (қара немесе ақ) қамтиды. 1.7712 Fractal H I де Ривера Бірлік шаршыдан бастап оның өлшемдерін үш тең бөлікке бөліп, 9 өзіне ұқсас шаршыны құру, алғашқы шаршы, екі ортаңғы шаршы (орталық шаршыдан жоғары және төмендегі) әрбір жойылмаған жеті шаршыда процесс қайталанады, сондықтан ол шексіз жалғасады. 1.7848 Фон Кох қисығы 85° 0 мен 90° арасында таңдалған бұрышпен фон Кох қисығын жалпылау. Фракталдық өлшем содан кейін 1.8272 Өзіне ұқсас фракталдық жиын Төртбұрышқа негізделген итеративті құрылған. Оның Хаусдорф өлшемі 1.8928 Сиерпинский кілемі Менгер губкасының әр беті Сиерпинский кілемі, сондай-ақ 3D квадраттық Кох бетінің (тип 1) төменгі беті. 1.8928 3D Кантор шаңы Кантор жиынының 3 өлшемдегі нұсқасы. Фон Кох қисығы мен Кантор жиынының декарты көбейтіндісі Жалпылау: Егер F×G екі фракталдық жиын F және G-нің декарты көбейтіндісі болса, онда 2 Мандельброт жиынының шекарасы Шекара және жиынның өзі бірдей Хаусдорф өлшеміне ие. 2 Джулия жиыны c-ның белгілі бір мәндері үшін (Мандельброт жиынының шекарасына жататын c-ны қоса алғанда) Джулия жиыны 2 өлшемді. 2 Аждаһа қисығы Оның шекарасының фракталдық өлшемі 1.5236270862. 2 Тердрагон қисығы L жүйесі: F → F + F – F, бұрыш = 120°. 2 Госпер қисығы Оның шекарасы Госпер аралы. 2 Кох қар ұсақтарын толтыратын қисық 1982 жылы Мандельброт ұсынған, ол Кох қар ұсақтарын толтырады. Ол 1/3 қатынасымен 7 ұқсастыққа және 6 ұқсастыққа негізделген. 2 Сиерпинский тетраэдрі Әр тетраэдр 4 тетраэдрмен ауыстырылады. 2 H фракталы орталыққа орналасқан Мандельброт ағашына ұқсас. Пифагор ағашы (фрактал) орталыққа орналасқан әрбір шаршы 2 шаршыны 1/3 коэффициентімен азайтумен тудырады. 2 2D грек кресті фракталы Әр сегмент 4 сегменттен тұратын крестпен ауыстырылады. Өлшенген 2.01 ± 0.01 Рёсслер аттракторы Рёсслер аттракторының фракталдық өлшемі 2-ден сәл жоғары. a = 0.1, b = 0.1 және c = 14 үшін ол 2.01 мен 2.02 арасында бағаланған. Өлшенген 2.06 ± 0.01 Лоренц аттракторы Параметрлер үшін, = 16 және МакГиннес (1983) 2<D<2.3 Пирамида беті әрбір үшбұрыш 6 үшбұрышпен ауыстырылады, олардың 4 бірдей үшбұрышы пирамидаға негізделген ромб құрайды және қалған екеуі пирамида үшбұрыштарына қатысты жазық болып қалады. Өлшем параметр болып табылады, 2.3-тен жоғары мәндерде өзіндік қиылыс пайда болады. 2.3219 Фракталдық пирамида Әрбір шаршы пирамидасы жартылай өлшемдегі 5 шаршы пирамидамен ауыстырылады. (Сиерпинский тетраэдрінен өзгеше, ол әрбір үшбұрышты пирамиданы 4 жартылай өлшемдегі үшбұрышты пирамидамен ауыстырады). 2.3296 Додекаэдр фракталы

Hausdorff dimension(exact value) Hausdorff dimension(approx.) Name Illustration Remarks Calculated 0.538 Feigenbaum attractor The Feigenbaum attractor (see between arrows) is the set of points generated by successive iterations of the logistic function for the critical parameter value , where the period doubling is infinite. This dimension is the same for any differentiable and unimodal function. 0.6309 Cantor set Built by removing the central third at each iteration. Nowhere dense and not a countable set. 0<D<1 1D generalized symmetric Cantor set Built by removing the central interval of length from each remaining interval of length at the nth iteration. produces the usual middle third Cantor set. Varying between 0 and 1 yields any fractal dimension 0.6942 (1/4, 1/2) asymmetric Cantor set Built by removing the second quarter at each iteration. (golden ratio). 0.69897 Real numbers whose base 10 digits are even Similar to the Cantor set. 0.88137 Spectrum of Fibonacci Hamiltonian The study of the spectrum of the Fibonacci Hamiltonian proves upper and lower bounds for its fractal dimension in the large coupling regime. These bounds show that the spectrum converges to an explicit constant. 1 Smith–Volterra–Cantor set Built by removing the central interval of length from each remaining interval at the nth iteration. Nowhere dense but has a Lebesgue measure of 1 Takagi or Blancmange curve Defined on the unit interval by , where is the triangle wave function. Not a fractal under Mandelbrot's definition, because its topological dimension is also Special case of the Takahi Landsberg curve: with The Hausdorff dimension equals for in (Hunt cited by Mandelbrot). Calculated 1.0812 Julia set z² + 1/4 Julia set of f(z) = z2 + 1/4. is one of the conjugated roots of 1.12915 contour of the Gosper island Term used by Mandelbrot (1977). The Gosper island is the limit of the Gosper curve. Measured (box counting) 1.2 Dendrite Julia set Julia set of f(z) = z2 + i. 1.2083 Fibonacci word fractal 60° Build from the Fibonacci word. See also the standard Fibonacci word fractal. (golden ratio). 1.2108 Boundary of the tame twindragon One of the six 2 rep tiles in the plane (can be tiled by two copies of itself, of equal size). 1.26 Hénon map The canonical Hénon map (with parameters a = 1.4 and b = 0.3) has Hausdorff dimension 1.261 ± 0.003. Different parameters yield different dimension values. 1.2619 Triflake Three anti snowflakes arranged in a way that a koch snowflake forms in between the anti snowflakes. 1.2619 Koch curve 3 Koch curves form the Koch snowflake or the anti snowflake. 1.2619 boundary of Terdragon curve L system: same as dragon curve with angle = 30°. The Fudgeflake is based on 3 initial segments placed in a triangle. 1.2619 2D Cantor dust Cantor set in 2 dimensions. 1.2619 2D L system branch L Systems branching pattern having 4 new pieces scaled by 1/3. Generating the pattern using statistical instead of exact self similarity yields the same fractal dimension. Calculated 1.2683 Julia set z2 − 1 Julia set of f(z) = z2 1. 1.328 5 circles inversion fractal The limit set generated by iterated inversions with respect to 5 mutually tangent circles (in red). Also an Apollonian packing. See 1.36521 Quadratic von Koch island using the type 1 curve as generator Also known as the Minkowski Sausage Calculated 1.3934 Douady rabbit Julia set of f(z) = 0.123 + 0.745i 1.5000 Quadratic von Koch curve (type 2) Also called "Minkowski sausage". 1.5236 Boundary of the Dragon curve cf. Chang & Zhang.). 1.6309 Sierpinski Hexagon Built in the manner of the Sierpinski carpet, on an hexagonal grid, with 6 similitudes of ratio 1/3. The Koch snowflake is present at all scales. 1.6379 Fibonacci word fractal Fractal based on the Fibonacci word (or Rabbit sequence) Sloane A005614. Illustration : Fractal curve after 23 steps (F23 = 28657 segments). (golden ratio). Solution of 1.6402 Attractor of IFS with 3 similarities of ratios 1/3, 1/2 and 2/3 Generalization : Providing the open set condition holds, the attractor of an iterated function system consisting of similarities of ratios , has Hausdorff dimension , solution of the equation coinciding with the iteration function of the Euclidean contraction factor: 1.6990 50 segment quadric fractal (1/10 scaling rule) Built by scaling the 50 segment generator (see inset) by 1/10 for each iteration, and replacing each segment of the previous structure with a scaled copy of the entire generator. The structure shown is made of 4 generator units and is iterated 3 times. The fractal dimension for the theoretical structure is log 50/log 10 = 1.6990. Images generated with Fractal Generator for ImageJ''''. 1.7227 Pinwheel fractal Built with Conway's Pinwheel tile. 1.7712 Sphinx fractal Built with the Sphinx hexiamond tiling, removing two of the nine sub sphinxes. 1.7712 Hexaflake Built by exchanging iteratively each hexagon by a flake of 7 hexagons. Its boundary is the von Koch flake and contains an infinity of Koch snowflakes (black or white). 1.7712 Fractal H I de Rivera Starting from a unit square dividing its dimensions into three equal parts to form nine self similar squares with the first square, two middle squares (the one that is above and the one below the central square) are removed in each of the seven squares not eliminated the process is repeated, so it continues indefinitely. 1.7848 Von Koch curve 85° Generalizing the von Koch curve with an angle a chosen between 0 and 90°. The fractal dimension is then 1.8272 A self affine fractal set Build iteratively from a array on a square, with Its Hausdorff dimension equals 1.8928 Sierpinski carpet Each face of the Menger sponge is a Sierpinski carpet, as is the bottom surface of the 3D quadratic Koch surface (type 1). 1.8928 3D Cantor dust Cantor set in 3 dimensions. Cartesian product of the von Koch curve and the Cantor set Generalization : Let F×G be the cartesian product of two fractals sets F and G. Then 2 Boundary of the Mandelbrot set The boundary and the set itself have the same Hausdorff dimension. 2 Julia set For determined values of c (including c belonging to the boundary of the Mandelbrot set), the Julia set has a dimension of 2. 2 Dragon curve And its boundary has a fractal dimension of 1.5236270862. 2 Terdragon curve L system: F → F + F – F, angle = 120°. 2 Gosper curve Its boundary is the Gosper island. Solution of 2 Curve filling the Koch snowflake Proposed by Mandelbrot in 1982, it fills the Koch snowflake. It is based on 7 similarities of ratio 1/3 and 6 similarities of ratio 2 Sierpiński tetrahedron Each tetrahedron is replaced by 4 tetrahedra. 2 H fractal align="center" Also the Mandelbrot tree which has a similar pattern. Pythagoras tree (fractal) align="center" Every square generates two squares with a reduction ratio of 2 2D Greek cross fractal Each segment is replaced by a cross formed by 4 segments. Measured 2.01 ±0.01 Rössler attractor The fractal dimension of the Rössler attractor is slightly above 2. For a=0.1, b=0.1 and c=14 it has been estimated between 2.01 and 2.02. Measured 2.06 ±0.01 Lorenz attractor For parameters ,=16 and See McGuinness (1983)2<D<2.3 Pyramid surface align="center" Each triangle is replaced by 6 triangles, of which 4 identical triangles form a diamond based pyramid and the remaining two remain flat with lengths and relative to the pyramid triangles. The dimension is a parameter, self intersection occurs for values greater than 2.3. 2.3219 Fractal pyramid align="center" Each square pyramid is replaced by 5 half size square pyramids. (Different from the Sierpinski tetrahedron, which replaces each triangular pyramid with 4 half size triangular pyramids). 2.3296 Dodecahedron fractal align="center" Each dodecahedron is replaced by 20 dodecahedra. (golden ratio). 2.3347 3D quadratic Koch surface (type 1) align="center" Extension in 3D of the quadratic Koch curve (type 1). The illustration shows the first (blue block), second (plus green blocks), third (plus yellow blocks) and fourth (plus clear blocks) iterations. 2.4739 Apollonian sphere packing The interstice left by the Apollonian spheres. Apollonian gasket in 3D. Dimension calculated by M. Borkovec, W. De Paris, and R. Peikert. 2.50 3D quadratic Koch surface (type 2) align="center" Extension in 3D of the quadratic Koch curve (type 2). The illustration shows the second iteration. 2.529 Jerusalem cube The iteration n is built with 8 cubes of iteration n 1 (at the corners) and 12 cubes of iteration n 2 (linking the corners). The contraction ratio is 2.5819 Icosahedron fractal align="center" Each icosahedron is replaced by 12 icosahedra. (golden ratio). 2.5849 3D Greek cross fractal align="center" Each segment is replaced by a cross formed by 6 segments. 2.5849 Octahedron fractal align="center" Each octahedron is replaced by 6 octahedra. 2.5849 von Koch surface align="center" Each equilateral triangular face is cut into 4 equal triangles. Using the central triangle as the base, form a tetrahedron. Replace the triangular base with the tetrahedral "tent". 2.7095 Von Koch in 3D Start with a 6 sided polyhedron whose faces are isosceles triangles with sides of ratio 2:2:3 Replace each polyhedron with 3 copies of itself, 2/3 smaller. 2.7268 Menger sponge And its surface has a fractal dimension of , which is the same as that by volume. 3 3D Hilbert curve A Hilbert curve extended to 3 dimensions. 3 3D Lebesgue curve A Lebesgue curve extended to 3 dimensions. 3 3D Moore curve A Moore curve extended to 3 dimensions. 3 3D H fractal A H fractal extended to 3 dimensions. (conjectured) (to be confirmed) Mandelbulb align="center" Extension of the Mandelbrot set (power 9) in 3 dimensionsUnreliable source: date=September 2011

Кездейсоқ және табиғи фракталдар

Хаусдорф өлшемдері (нақты мәні) Хаусдорф өлшемдері (шамамен) Атауы Суреттеме Ескертулер 1/2 0.5 Винер процесінің нөлдері Винер процесінің нөлдері (Броун қозғалысы) – Лэбесг өлшемі 0-ге тең, еш жерде тығыз емес жиынтық және фракталдық құрылымы бар. Шешімі, мұнда және 0.7499 кездейсоқ Кантор жиынының 50% 30% Жалпылау: әрбір итерацияда сол жақ интервалдың ұзындығы кездейсоқ айнымалы арқылы анықталады, бұл бастапқы интервал ұзындығының белгілі бір пайызын құрайды. Оң жақ интервал үшін де солай, кездейсоқ айнымалымен. Оның Хаусдорф өлшемдері келесі теңдікті қанағаттандырады: (мұнда – күтілетін мән). Олстер университетінде және Дублиндегі Тринити колледжінің теориялық физика студенттері С. Хутцлердің жетекшілігімен жүргізілді. Ирландияның тіректі батыс жағалауының (фракталдық өлшемі шамамен 1.26) және тегіс шығыс жағалауының (фракталдық өлшемі 1.10) арасындағы айқын айырмашылықтарға назар аударыңыз. 1.2619 Кездейсоқ бағыттағы Кох қисығы Әрбір итерацияда, бұрыштың үстіне немесе астына теңқабырлы үшбұрышты орналастыру арқылы, өлшемге әсер етпейтін кездейсоқ элемент енгізіледі. 1.333 2D полимері 2D-дегі Браун қозғалысына ұқсас, бірақ өзімен-өзі қиыспайды. 1.333 2D-дегі перколяция фронты, 2D-дегі коррозия фронты Перколяцияның инвазия фронтының (жетімді периметр) фракталдық өлшемі, перколяция шегінде (59.3%). Бұл тоқтатылған коррозия фронтының фракталдық өлшемі де. 1.55 Өзін-өзі болдырмайтын кездейсоқ жүріс Квадрат тордағы кездейсоқ жүріс, бір орынға екі рет барудан аулақ болады, соқыр дақтардан аулақ болу үшін «кері қайту» әдісі қолданылады. 1.66 3D полимері Кубтық тордағы Браун қозғалысына ұқсас, бірақ өзімен-өзі қиыспайды. немесе Шрамм-Лоевнер эволюциясы. 1.8958 2D перколяция кластері Квадрат торда, сайттың перколяция шегінен (59.3%) төмен инвазия кластері бойынша перколяцияның фракталдық өлшемі 91/48-ге тең. Бұл шектен асып кеткен жағдайда кластер шексіз болады және 91/48 «ашық орындардың» фракталдық өлшеміне айналады. 2 Браун қозғалысы немесе кездейсоқ жүріс. Хаусдорф өлшемдері 2D, 3D және одан жоғары өлшемдерде 2-ге тең (К. Фальконер «Фрактал жиынтықтарының геометриясы»). 2005 жылғы Слоан цифрлық аспан зерттеуінің нәтижелері бойынша галактика шоғырларының таралуы шамамен 2-ге тең. 2.5 Қиратылған қағаз шарлары Бір типті қағаздан жасалған және бірдей көлбеулік қатынасы бар (мысалы, ISO 216 A сериясындағы әртүрлі өлшемдер) әртүрлі өлшемдегі парақтарды қирату кезінде алынған шарлардың диаметрі 2 мен 3 арасындағы бөлшек көрсеткіш дәрежесіне көтерілгенде, шарлар жасалған парақтардың ауданына пропорционалды болады. Барлық өлшемдерде жиырылу пайда болады (динамикалық жүйелердегі универсалдылықты қараңыз). 2.50 3D DLA кластері 3 өлшемде диффузиялық шектелген агрегация арқылы қалыптасқан кластерлердің фракталдық өлшемі шамамен 2.50-ге тең. 2.8-ге жуық өлшенген Адам миының беті Сегменттелген үш өлшемді жоғары ажыратылатын магниттік-резонанстық бейнелермен өлшенді. Мөлшерленді және есептелді. 2.8-ге жуық Гүлді көкбас Сан Хун Ким тікелей сканерлеу әдісін және гүлді көкбастың қимасының математикалық талдауын қолданып, оның фракталдық өлшемі шамамен 2.8-ге тең деген қорытынды жасады.

Hausdorff dimension(exact value) Hausdorff dimension(approx.) Name Illustration Remarks1/2 0.5 Zeros of a Wiener process The zeros of a Wiener process (Brownian motion) are a nowhere dense set of Lebesgue measure 0 with a fractal structure. Solution of where and 0.7499 a random Cantor set with 50% 30% Generalization: at each iteration, the length of the left interval is defined with a random variable , a variable percentage of the length of the original interval. Same for the right interval, with a random variable Its Hausdorff Dimension satisfies: (where is the expected value of ). at the University of Ulster and Theoretical Physics students at Trinity College, Dublin, under the supervision of S. Hutzler. Note that there are marked differences between Ireland's ragged west coast (fractal dimension of about 1.26) and the much smoother east coast (fractal dimension 1.10) 1.2619 von Koch curve with random orientation One introduces here an element of randomness which does not affect the dimension, by choosing, at each iteration, to place the equilateral triangle above or below the curve. 1.333 Polymer in 2D Similar to the Brownian motion in 2D with non self intersection. 1.333 Percolation front in 2D, Corrosion front in 2D Fractal dimension of the percolation by invasion front (accessible perimeter), at the percolation threshold (59.3%). It's also the fractal dimension of a stopped corrosion front. Measured 1.55 Self avoiding walk Random walk in a square lattice that avoids visiting the same place twice, with a "go back" routine for avoiding dead ends. 1.66 Polymer in 3D Similar to the Brownian motion in a cubic lattice, but without self intersection. or by Schramm Loewner Evolution. 1.8958 2D percolation cluster In a square lattice, under the site percolation threshold (59.3%) the percolation by invasion cluster has a fractal dimension of 91/48. Beyond that threshold, the cluster is infinite and 91/48 becomes the fractal dimension of the "clearings". 2 Brownian motion Or random walk. The Hausdorff dimensions equals 2 in 2D, in 3D and in all greater dimensions (K. Falconer "The geometry of fractal sets"). Measured Around 2 Distribution of galaxy clusters From the 2005 results of the Sloan Digital Sky Survey. 2.5 Balls of crumpled paper When crumpling sheets of different sizes but made of the same type of paper and with the same aspect ratio (for example, different sizes in the ISO 216 A series), then the diameter of the balls so obtained elevated to a non integer exponent between 2 and 3 will be approximately proportional to the area of the sheets from which the balls have been made. Creases will form at all size scales (see Universality (dynamical systems)). 2.50 3D DLA Cluster In 3 dimensions, clusters formed by diffusion limited aggregation, have a fractal dimension of around 2.50. Measured ~2.8 Surface of human brain Measured with segmented three dimensional high resolution magnetic resonance imagesMeasured and calculated~2.8 Cauliflower San Hoon Kim used a direct scanning method and a mathematical analysis of the cross section of a cauliflower to conclude that the fractal dimension of it is ~2.8.