Введение

ни одного. Согласно Бенуа Мандельброту, «фрактал по определению — это множество, у которого размерность Хаусдорфа — Безиковича строго превышает топологическую размерность». Ниже представлен список фракталов, упорядоченный по возрастанию размерности Хаусдорфа, чтобы проиллюстрировать, что означает для фрактала иметь низкую или высокую размерность.

Детерминированные фракталы

Размер Хаусдорфа (точная величина) Размер Хаусдорфа (приблизительно) Название Иллюстрация Замечания Вычисленный 0.538 Атрактор Фейгенбаума Атрактор Фейгенбаума (см. между стрелками) — это множество точек, генерируемых последовательными итерациями логистической функции для критического значения параметра, при котором происходит бесконечное удвоение периода. Это измерение одинаково для любой дифференцируемой и унимодальной функции. 0.6309 Набор Кантора Построен путем удаления центральной трети на каждой итерации. Нигде не плотный и не счетный набор. 0<D<1 1D обобщенный симметричный набор Кантора Построен путем удаления центрального интервала длины из каждого оставшегося интервала длины на n-й итерации. В результате получается обычный набор Кантора с центральной третью. Изменяя значение между 0 и 1, можно получить любую фрактальную размерность. 0.6942 (1/4, 1/2) асимметричный набор Кантора Построен путем удаления второй четверти на каждой итерации (золотое сечение). 0.69897 Числа, десятичные цифры которых четные. Похож на набор Кантора. 0.88137 Спектр гамильтониана Фибоначчи Изучение спектра гамильтониана Фибоначчи доказывает верхние и нижние границы его фрактальной размерности в области сильного взаимодействия. Эти границы показывают, что спектр сходится к определенной константе. 1 Набор Смита — Вольтерры — Кантора Построен путем удаления центрального интервала длины из каждого оставшегося интервала на n-й итерации. Нигде не плотный, но имеет меру Лебега, равную 1. 1 Кривая Такаги или Бланкманж Определена на единичном интервале как , где — треугольная волна. Не является фракталом в определении Мандельброта, поскольку ее топологическая размерность также является. Является частным случаем кривой Такаги — Ландсберга: с измерением Хаусдорфа, равным для (Хант, цитируемый Мандельбротом). Вычислено 1.0812 Множество Жюлиа z² + 1/4 Множество Жюлиа для f(z) = z² + 1/4. Является одним из сопряженных корней. 1.12915 Контур острова Госпера Термин, введенный Мандельбротом (1977). Остров Госпера — это предел кривой Госпера. Измерено (метод счетных ящиков). 1.2 Дендритное множество Жюлиа Множество Жюлиа для f(z) = z² + i. 1.2083 Фрактал слова Фибоначчи 60° Построен на основе слова Фибоначчи. См. также стандартный фрактал Фибоначчи. (золотое сечение). 1.2108 Граница прирученного двойного дракона Один из шести плиток 2-го порядка в плоскости (может быть выложен двумя копиями самого себя, одинакового размера). 1.26 Карта Хенона Каноническая карта Хенона (с параметрами a = 1.4 и b = 0.3) имеет размерность Хаусдорфа 1.261 ± 0.003. Различные параметры дают разные значения размерности. 1.2619 Три антиснежинки, расположенные таким образом, что между ними образуется снежинка Коха. 1.2619 Кривая Коха 3 кривые Коха образуют снежинку Коха или антиснежинку. 1.2619 Граница кривой Тердрагона L-система: такая же, как кривая дракона с углом = 30°. Фаджфлейк основан на трех начальных сегментах, расположенных в треугольнике. 1.2619 2D пыль Кантора Набор Кантора в 2 измерениях. 1.2619 2D ветвь L-системы Ветвящаяся структура L-системы с 4 новыми частями, масштабированными в 1/3. Создание структуры с использованием статистического, а не точного самоподобия, дает ту же фрактальную размерность. Вычислено 1.2683 Множество Жюлиа z² − 1 Множество Жюлиа для f(z) = z². 1. 1.328 Фрактал инверсии 5 кругов Предельное множество, генерируемое итерационными инверсиями относительно 5 взаимно касающихся кругов (красным). Также является аполлониевой упаковкой. См. 1.36521 Квадратичный остров фон Коха, использующий кривую типа 1 в качестве генератора Также известен как колбаса Минковского. Вычислено 1.3934 Кролик Дуади Множество Жюлиа для f(z) = 0.123 + 0.745i 1.5000 Квадратичная кривая фон Коха (тип 2) Также называется «колбаса Минковского». 1.5236 Граница кривой Дракона см. Чан и Чжан. 1.6309 Гексагон Серпинского Построен по образцу ковра Серпинского на гексагональной сетке с 6 подобиями в соотношении 1/3. Снежинка Коха присутствует во всех масштабах. 1.6379 Фрактал слова Фибоначчи Фрактал, основанный на слове Фибоначчи (или последовательности кроликов) Слоан A005614. Иллюстрация: фрактальная кривая после 23 шагов (F23 = 28657 сегментов). (золотое сечение). Решение 1.6402 Атрактор IFS с 3 подобиями в соотношениях 1/3, 1/2 и 2/3 Обобщение: если выполняется условие открытого множества, то атрактор итерационной системы функций, состоящей из подобий в соотношениях , имеет размерность Хаусдорфа, являющуюся решением уравнения, совпадающего с итерационной функцией евклидова коэффициента сжатия: 1.6990 50-сегментный квадрический фрактал (правило масштабирования 1/10) Построен путем масштабирования 50-сегментного генератора (см. вставку) на 1/10 для каждой итерации и замены каждого сегмента предыдущей структуры масштабированной копией всего генератора. Показанная структура состоит из 4 генераторных единиц и итерируется 3 раза. Фрактальная размерность для теоретической структуры равна log 50/log 10 = 1.6990. Изображения созданы с помощью Fractal Generator для ImageJ. 1.7227 Фрактал «Ветряная мельница» Построен с использованием плитки «Ветряная мельница» Конвея. 1.7712 Фрактал «Сфинкс» Построен с использованием гексаионной мозаики «Сфинкс», удаляя два из девяти под-сфинксов. 1.7712 Гексафлейк Построен путем итеративного замещения каждого гексагона хлопьей структурой из 7 гексагонов. Его граница — хлопья фон Коха и содержит бесконечное количество снежинок Коха (черных или белых). 1.7712 Фрактал H I де Ривера Начиная с единичного квадрата, делим его размеры на три равные части, чтобы образовать девять самоподобных квадратов, из которых удаляются первый квадрат и два средних квадрата (находящиеся выше и ниже центрального квадрата) в каждом из семи не удаленных квадратов процесс повторяется, так что он продолжается бесконечно. 1.7848 Кривая фон Коха 85° Обобщение кривой фон Коха с углом a, выбранным между 0 и 90°. Фрактальная размерность тогда равна 1.8272 Самоаффинный фрактальный набор Построен итеративно из массива на квадрате. Его размерность Хаусдорфа равна 1.8928 Ковер Серпинского Каждая грань губки Менгера — это ковер Серпинского, как и нижняя поверхность 3D квадратичной поверхности фон Коха (тип 1). 1.8928 3D пыль Кантора Набор Кантора в 3 измерениях. Декартово произведение кривой фон Коха и набора Кантора. Обобщение: Пусть F×G будет декартовым произведением двух фрактальных множеств F и G. Тогда 2 Граница множества Мандельброта Граница и само множество имеют одинаковую размерность Хаусдорфа. 2 Множество Жюлиа Для определенных значений c (включая c, принадлежащие границе множества Мандельброта) множество Жюлиа имеет размерность 2. 2 Кривая Дракона И ее граница имеет фрактальную размерность 1.5236270862. 2 Кривая Тердрагона L-система: F → F + F – F, угол = 120°. 2 Кривая Госпера Ее граница — остров Госпера. Решение 2 Кривая, заполняющая снежинку Коха Предложена Мандельбротом в 1982 году, она заполняет снежинку Коха. Она основана на 7 подобиях в соотношении 1/3 и 6 подобиях в соотношении 2 Тетраэдр Серпинского Каждый тетраэдр заменяется 4 тетраэдрами. 2 H фрактал Также дерево Мандельброта, которое имеет аналогичный рисунок. Пифагорейское дерево (фрактал) Каждая квадрат генерирует два квадрата с коэффициентом уменьшения 2 2D греческий крест фрактал Каждый сегмент заменяется крестом, образованным 4 сегментами. Измерено 2.01 ±0.01 Атрактор Рёсслера Фрактальная размерность атрактора Рёсслера немного больше 2. Для a=0.1, b=0.1 и c=14 она была оценена между 2.01 и 2.02. Измерено 2.06 ±0.01 Атрактор Лоренца Для параметров ,=16 и См. МакГиннесс (1983) 2<D<2.3 Пирамидальная поверхность Каждый треугольник заменяется 6 треугольниками, из которых 4 идентичных треугольника образуют пирамиду на основе ромба, а остальные два остаются плоскими с длинами и относительно пирамидальных треугольников. Размерность является параметром, самопересечение происходит при значениях больше 2.3. 2.3219 Фрактальная пирамида Каждый квадратный пирамид заменяется 5 квадратными пирамидами половинного размера. (Отличается от тетраэдра Серпинского, который заменяет каждую треугольную пирамиду 4 треугольными пирамидами половинного размера). 2.3296 Додекаэдр фрактал

Случайные и естественные фракталы

Размер Хаусдорфа (точная величина) Размер Хаусдорфа (приблизительно) Название Иллюстрация Замечания 1/2 0.5 Нули процесса Винера Нули процесса Винера (броуновское движение) — это нигде не плотное множество меры Лебега 0 с фрактальной структурой. Решение, где и 0,7499 Случайный набор Кантора с 50% 30% Обобщение: на каждой итерации длина левого интервала определяется случайной переменной , переменным процентом от длины исходного интервала. То же самое для правого интервала, со случайной переменной, которой соответствует измерение Хаусдорфа: (где — математическое ожидание). В Университете Ульстера и студенты теоретической физики в Тринити-колледже в Дублине под руководством С. Хатцлера. Следует отметить, что существуют заметные различия между изрезанным западным побережьем Ирландии (фрактальное измерение около 1,26) и гораздо более гладким восточным побережьем (фрактальное измерение 1,10). 1.2619 Кривая Коха со случайной ориентацией Здесь вводится элемент случайности, который не влияет на размерность, выбирая при каждой итерации размещать равносторонний треугольник выше или ниже кривой. 1.333 Полимер в 2D Похож на броуновское движение в 2D без самопересечений. 1.333 Фронт просачивания в 2D, Фронт коррозии в 2D Фрактальное измерение фронта вторжения (доступный периметр) при пороге просачивания (59,3%). Это также фрактальное измерение остановленного фронта коррозии. Измерено 1,55 Самоизбегающая случайная траектория Случайная траектория в квадратной решетке, избегающая повторного посещения одной и той же точки, с процедурой "возврата" для избежания тупиков. 1.66 Полимер в 3D Похож на броуновское движение в кубической решетке, но без самопересечений. или с помощью эволюции Шрамма-Лёвнера. 1.8958 2D-кластер просачивания В квадратной решетке, ниже порога просачивания (59,3%), кластер просачивания по вторжению имеет фрактальное измерение 91/48. Выше этого порога кластер бесконечен, и 91/48 становится фрактальным измерением "пространств". 2 Броуновское движение или случайная траектория. Размеры Хаусдорфа равны 2 в 2D, в 3D и во всех больших размерностях (К. Фальконер "Геометрия фрактальных множеств"). Измерено около 2 Распределение скоплений галактик По результатам обзора Sloan Digital Sky Survey 2005 года. 2.5 Шары из скомканной бумаги При сминании листов разных размеров, но изготовленных из одного и того же типа бумаги и с одинаковым соотношением сторон (например, разных размеров в серии ISO 216 A), диаметр полученных шаров, возведенный в нецелую степень между 2 и 3, будет приблизительно пропорционален площади листов, из которых они были сделаны. Складки образуются во всех масштабах (см. Универсальность (динамические системы)). 2.50 3D DLA-кластер В 3 измерениях кластеры, образованные диффузионно-ограниченной агрегацией, имеют фрактальное измерение около 2,50. Измерено ~2,8 Поверхность человеческого мозга Измерено с использованием сегментированных трехмерных изображений магнитно-резонансной томографии высокого разрешения. Измерено и рассчитано ~2,8 Цветная капуста Сан Хун Ким использовал метод прямого сканирования и математический анализ поперечного сечения цветной капусты, чтобы прийти к выводу, что ее фрактальное измерение составляет ~2,8.