Құрылымдық тұрақтылық: Динамикалық жүйелердегі тұрақтылық қасиеті
Structural stability
Математикада құрылымдық тұрақтылық – динамикалық жүйенің кішкентай өзгерістерге (C1) қарамастан сапалық қасиеттерін сақтайтын қасиеті. Тұрақты жүйелер, бекітілген нүктелер, периодтық орбиталар.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикадағы ұғым
Concept in mathematics
Математикада құрылымдық тұрақтылық – динамикалық жүйенің негізгі қасиеті, яғни траекториялардың сапалық мінез-құлқы кішігірім бұзылуларға (нақтырақ айтқанда, C¹ кішігірім бұзылуларға) тәуелсіз болады. Мұндай сапалық қасиеттердің мысалдары – тұрақты нүктелер саны және периодтық орбиталар (бірақ олардың периоды емес). Ляпунов тұрақтылығы бастапқы шарттардың белгілі бір жүйе үшін бұзылуын қарастырса, құрылымдық тұрақтылық жүйенің өзіндегі бұзылулармен айналысады. Бұл ұғымның түрлері қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйелеріне, тегіс көпқырлылықтардағы векторлық өрістерге және олар тудыратын ағындарға, сондай-ақ диффеоморфизмдерге қолданылады. Құрылымдық тұрақты жүйелерді 1937 жылы Александр Андронов және Лев Понтрягин «системы гроссиер» немесе «дөрекі жүйелер» деп атап енгізді. Олар жазықтықтағы дөрекі жүйелерді сипаттауды жариялады, ол Андронов-Понтрягин критерийі деп аталды. Бұл жағдайда құрылымдық тұрақты жүйелер типтік болып табылады, олар тиісті топологиясы бар жүйелердің кеңістігінде ашық және тығыз жиынды құрайды. Жоғары өлшемдерде бұл қағида қолданылмайды, бұл типтік динамиканың өте күрделі болуын көрсетеді (мысалы, ерекше тартымдылық). Кез келген өлшемдегі құрылымдық тұрақты жүйелердің маңызды класын Аносов диффеоморфизмдері мен ағындары құрайды. 1950 жылдардың соңы мен 1960 жылдардың басында Маурисио Пейшото және Марилия Чавес Пейшото Андронов пен Понтрягиннің жұмысына сүйене отырып, Пейшото теоремасын жасады және дәлелдеді, ол құрылымдық тұрақтылықтың алғашқы жаһандық сипаттамасы болды.
In mathematics, structural stability is a fundamental property of a dynamical system which means that the qualitative behavior of the trajectories is unaffected by small perturbations (to be exact C1 small perturbations). Examples of such qualitative properties are numbers of fixed points and periodic orbits (but not their periods). Unlike Lyapunov stability, which considers perturbations of initial conditions for a fixed system, structural stability deals with perturbations of the system itself. Variants of this notion apply to systems of ordinary differential equations, vector fields on smooth manifolds and flows generated by them, and diffeomorphisms. Structurally stable systems were introduced by Aleksandr Andronov and Lev Pontryagin in 1937 under the name "systèmes grossiers", or rough systems. They announced a characterization of rough systems in the plane, the Andronov–Pontryagin criterion. In this case, structurally stable systems are typical, they form an open dense set in the space of all systems endowed with appropriate topology. In higher dimensions, this is no longer true, indicating that typical dynamics can be very complex (cf. strange attractor). An important class of structurally stable systems in arbitrary dimensions is given by Anosov diffeomorphisms and flows. During the late 1950s and the early 1960s, Maurício Peixoto and Marília Chaves Peixoto, motivated by the work of Andronov and Pontryagin, developed and proved Peixoto's theorem, the first global characterization of structural stability.
Анықтама
G, Rn-дегі ашық домен болсын, тығыз жабылуы және тегіс (n-1) өлшемдік шекарасы бар. G шекарасына көлденең және ішкі бағытталған Rn-дегі C1 векторлық өрістердің G-ге шектеулерінен тұратын X1(G) кеңістігін қарастырайық. Бұл кеңістік әдеттегідей C1 метрикасымен жабдықталған. Егер F1 кез келген жеткілікті шағын бұрмалау үшін сәйкес ағымдар G-де топологиялық эквивалентті болса, онда F ∈ X1(G) векторлық өрісі әлсіз құрылымдық тұрақты болады: G → G гомеоморфизмі h бар, ол F-тің бағытталған траекторияларын F1-дің бағытталған траекторияларына түрлендіреді. Егер, сонымен қатар, кез келген ε > 0 үшін гомеоморфизм h, F1, ε-ға тәуелді F-тің тиісті маңында жатқанда, сәйкестік картасына C0 ε жақындықпен таңдалуы мүмкін болса, онда F (күшті) құрылымдық тұрақты деп аталады. Бұл анықтамалар n өлшемді, тығыз, шекарасы бар тегіс көптүрліліктерге тікелей таралады. Андронов пен Понтрягин бастапқыда күшті қасиетті қарастырды. Векторлық өрістер мен ағымдардың орнына диффеоморфизмдер үшін де ұқсас анықтамалар беруге болады: бұл жағдайда h гомеоморфизмі топологиялық конъюгация болуы керек. Топологиялық эквиваленттілік тегіс қасиеттердің жоғалуымен жүзеге асырылатынын атап өту маңызды: h картасы, жалпы алғанда, диффеоморфизм бола алмайды. Сонымен қатар, топологиялық эквиваленттілік бағытталған траекторияларды сақтаса да, топологиялық конъюгациядан айырмашылығы, ол уақытқа қатысты үйлесімді емес. Осылайша, топологиялық эквиваленттілік ұғымы векторлық өрістердің C1 конъюгациясын едәуір әлсіретеді. Бұл шектеулер болмаса, тұрақты нүктелері немесе периодтық орбиталары бар үздіксіз уақыт жүйесі құрылымдық тұрғыдан тұрақты бола алмайды. Әлсіз құрылымдық тұрақты жүйелер X1(G)-де ашық жиын құрайды, бірақ күшті жағдайда да осы қасиеттің бар-жоғы белгісіз.
Let G be an open domain in Rn with compact closure and smooth (n−1) dimensional boundary. Consider the space X1(G) consisting of restrictions to G of C1 vector fields on Rn that are transversal to the boundary of G and are inward oriented. This space is endowed with the C1 metric in the usual fashion. A vector field F ∈ X1(G) is weakly structurally stable if for any sufficiently small perturbation F1, the corresponding flows are topologically equivalent on G: there exists a homeomorphism h: G → G which transforms the oriented trajectories of F into the oriented trajectories of F1. If, moreover, for any ε > 0 the homeomorphism h may be chosen to be C0 ε close to the identity map when F1 belongs to a suitable neighborhood of F depending on ε, then F is called (strongly) structurally stable. These definitions extend in a straightforward way to the case of n dimensional compact smooth manifolds with boundary. Andronov and Pontryagin originally considered the strong property. Analogous definitions can be given for diffeomorphisms in place of vector fields and flows: in this setting, the homeomorphism h must be a topological conjugacy. It is important to note that topological equivalence is realized with a loss of smoothness: the map h cannot, in general, be a diffeomorphism. Moreover, although topological equivalence respects the oriented trajectories, unlike topological conjugacy, it is not time compatible. Thus, the relevant notion of topological equivalence is a considerable weakening of the naïve C1 conjugacy of vector fields. Without these restrictions, no continuous time system with fixed points or periodic orbits could have been structurally stable. Weakly structurally stable systems form an open set in X1(G), but it is unknown whether the same property holds in the strong case.
Мысалдар
Андронов пен Понтрагиннің негізгі еңбегінде, шектіге көлденең және екі сфера S2-ге жататын D бірлік дискісіндегі C1 векторлық өрістердің құрылымдық тұрақтылығы үшін қажетті және жеткілікті шарттар анықталды. Андронов-Понтрагин критерийіне сәйкес, мұндай өрістер құрылымдық тұрақты болады, егер және тек қана егер оларда тек шекті сандағы сингулярлық нүктелер (тепе-теңдік күйлері) және периодтық траекториялар (шекара циклдары) болса, олардың барлығы дегенеративті емес (гиперболалық) және олардың еңседен еңсеге байланыстары болмаса. Бұдан әрі, жүйенің серкеу болмайтын жиыны – сингулярлық нүктелер мен периодтық орбиталардың біріндісімен дәл келеді. Атап айтқанда, екі өлшемдегі құрылымдық тұрақты векторлық өрістерде гомоклиникалық траекториялар болмайды, бұл динамиканы қатты күрделендіреді, Анри Пуанкаре анықтағандай. Торус үстіндегі біртекті емес тегіс векторлық өрістердің құрылымдық тұрақтылығын зерттеу үшін Пуанкаре мен Арно Денжойдың теориясын қолдануға болады. Пуанкаренің қайталану картасын пайдаланып, мәселе шеңбердің диффеоморфизмдерінің құрылымдық тұрақтылығын анықтауға дейін тоғытылады. Денжой теоремасының салдары ретінде, шеңбердің бағытты сақтайтын C2 диффеоморфизмі ƒ құрылымдық тұрақты болады, егер және тек қана егер оның айналу саны рационалды болса, ρ(ƒ) = p/q, және барлық периодтары q-ға тең периодтық траекториялары дегенеративті емес болса: ƒq-ның периодтық нүктелердегі Якобианы 1-ден өзгеше, шеңбер картасына қараңыз. Дмитрий Аносов тордың гиперболалық автоморфизмдерінің, мысалы, Арнольдтың мысық картасының құрылымдық тұрақты екенін ашты. Одан кейін ол бұл тұжырымды кеңірек жүйелер класына жалпылады, олар кейіннен Аносов диффеоморфизмдері және Аносов ағындары деп аталды. Аносов ағынының танымал мысалы – тұрақты теріс қисықтығы бар беттегі геодезиялық ағын, қараңыз: Гадамар бильярды.
Necessary and sufficient conditions for the structural stability of C1 vector fields on the unit disk D that are transversal to the boundary and on the two sphere S2 have been determined in the foundational paper of Andronov and Pontryagin. According to the Andronov–Pontryagin criterion, such fields are structurally stable if and only if they have only finitely many singular points (equilibrium states) and periodic trajectories (limit cycles), which are all non degenerate (hyperbolic), and do not have saddle to saddle connections. Furthermore, the non wandering set of the system is precisely the union of singular points and periodic orbits. In particular, structurally stable vector fields in two dimensions cannot have homoclinic trajectories, which enormously complicate the dynamics, as discovered by Henri Poincaré. Structural stability of non singular smooth vector fields on the torus can be investigated using the theory developed by Poincaré and Arnaud Denjoy. Using the Poincaré recurrence map, the question is reduced to determining structural stability of diffeomorphisms of the circle. As a consequence of the Denjoy theorem, an orientation preserving C2 diffeomorphism ƒ of the circle is structurally stable if and only if its rotation number is rational, ρ(ƒ) = p/q, and the periodic trajectories, which all have period q, are non degenerate: the Jacobian of ƒq at the periodic points is different from 1, see circle map. Dmitri Anosov discovered that hyperbolic automorphisms of the torus, such as the Arnold's cat map, are structurally stable. He then generalized this statement to a wider class of systems, which have since been called Anosov diffeomorphisms and Anosov flows. One celebrated example of Anosov flow is given by the geodesic flow on a surface of constant negative curvature, cf Hadamard billiards.
Тарих және маңызы
Жүйенің құрылымдық тұрақтылығы нақты физикалық жүйелерді талдау үшін динамикалық жүйелердің сапалық теориясын қолдануға негіз береді. Мұндай сапалық талдау идеясы аспан механикасындағы үш дене проблемасы жөніндегі Анри Пуанкаре еңбегіне бастау алады. Сол кезде Александр Ляпунов жеке жүйенің шағын бұзылыстарының тұрақтылығын қатаң зерттеді. Іс жүзінде жүйенің эволюция заңы (яғни дифференциалдық теңдеулер) түрлі шағын өзара әрекеттесулердің болуына байланысты ешқашан нақты белгілі болмайды. Сондықтан, белгілі бір физикалық заңмен басқарылатын "үлгі" жүйенің кез келген шағын өзгерісі үшін динамиканың негізгі ерекшеліктері сақталатынын білу өте маңызды. Сапалық талдауды 1920 жылдары Джордж Биркхофф одан әрі дамытты, бірақ ол 1937 жылы Андронов пен Понтрягиннің "жақын жүйе" тұжырымдамасын енгізуімен алғаш рет ресми түрде қалыптастырылды. Бұл бірден Андронов, Витт және Хайкин физикалық жүйелерді тербелістермен талдау үшін қолданды. "Құрылымдық тұрақтылық" термині олардың монографиясын ағылшын тіліне аударуын қадағалаған Соломон Лефшецке тиесілі. 1960 жылдары Стивен Смейл және оның мектебі гиперболалық динамика контекстінде құрылымдық тұрақтылық идеяларын қабылдады. Бұрын Марстон Морс және Хасслер Уитни бастама көтерді, ал Рене Том дифференциалданатын функциялар үшін тұрақтылықтың параллель теориясын жасады, ол сингулярлық теорияның маңызды бөлігін құрайды. Том осы теорияны биологиялық жүйелерге қолдануды жоспарлады. Смейл мен Том екеуі де 1950 жылдардың соңында Пейксото теоремасын дамытқан Маурисио Пейксотомен тікелей байланыста жұмыс істеді. Смейл гиперболалық динамикалық жүйелер теориясын дамытуды бастағанда, құрылымдық тұрақты жүйелердің "типикалық" болатынына үміттенді. Бұл төмен өлшемдегі жағдайға сәйкес келер еді: ағындар үшін екінші өлшем және диффеоморфизмдер үшін бірінші өлшем. Алайда, ол көп ұзамай жоғары өлшемді кеңістіктердегі векторлық өрістердің мысалдарын тапты, оларды кез келген шағын өзгерту арқылы құрылымдық тұрақты ету мүмкін емес (мұндай мысалдар кейіннен үшінші өлшемді кеңістіктерде құрастырылды). Бұл жоғары өлшемдерде құрылымдық тұрақты жүйелер тығыз емес екенін білдіреді. Сонымен қатар, құрылымдық тұрақты жүйеде гиперболалық еріктік жабық орбиталардың көлденең гомоклиникалық траекториялары және шексіз көп периодтық орбиталар болуы мүмкін, тіпті фазалық кеңістік тығыз болса да. Андронов пен Понтрягин қарастырған құрылымдық тұрақты жүйелердің жоғары өлшемді ең жақын аналогы Морзе-Смейл жүйелері арқылы беріледі.
Structural stability of the system provides a justification for applying the qualitative theory of dynamical systems to analysis of concrete physical systems. The idea of such qualitative analysis goes back to the work of Henri Poincaré on the three body problem in celestial mechanics. Around the same time, Aleksandr Lyapunov rigorously investigated stability of small perturbations of an individual system. In practice, the evolution law of the system (i. e. the differential equations) is never known exactly, due to the presence of various small interactions. It is, therefore, crucial to know that basic features of the dynamics are the same for any small perturbation of the "model" system, whose evolution is governed by a certain known physical law. Qualitative analysis was further developed by George Birkhoff in the 1920s, but was first formalized with introduction of the concept of rough system by Andronov and Pontryagin in 1937. This was immediately applied to analysis of physical systems with oscillations by Andronov, Witt, and Khaikin. The term "structural stability" is due to Solomon Lefschetz, who oversaw translation of their monograph into English. Ideas of structural stability were taken up by Stephen Smale and his school in the 1960s in the context of hyperbolic dynamics. Earlier, Marston Morse and Hassler Whitney initiated and René Thom developed a parallel theory of stability for differentiable maps, which forms a key part of singularity theory. Thom envisaged applications of this theory to biological systems. Both Smale and Thom worked in direct contact with Maurício Peixoto, who developed Peixoto's theorem in the late 1950s. When Smale started to develop the theory of hyperbolic dynamical systems, he hoped that structurally stable systems would be "typical". This would have been consistent with the situation in low dimensions: dimension two for flows and dimension one for diffeomorphisms. However, he soon found examples of vector fields on higher dimensional manifolds that cannot be made structurally stable by an arbitrarily small perturbation (such examples have been later constructed on manifolds of dimension three). This means that in higher dimensions, structurally stable systems are not dense. In addition, a structurally stable system may have transversal homoclinic trajectories of hyperbolic saddle closed orbits and infinitely many periodic orbits, even though the phase space is compact. The closest higher dimensional analogue of structurally stable systems considered by Andronov and Pontryagin is given by the Morse–Smale systems.