Введение

Концепция в математике

В математике структурная устойчивость — это фундаментальное свойство динамической системы, означающее, что качественное поведение траекторий не изменяется под действием малых возмущений (в точности, C¹-малых возмущений). Примерами таких качественных свойств являются число фиксированных точек и периодических орбит (но не их периоды). В отличие от устойчивости по Ляпунову, которая рассматривает возмущения начальных условий для фиксированной системы, структурная устойчивость имеет дело с возмущениями самой системы. Варианты этого понятия применимы к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, векторным полям на гладких многообразиях и потокам, порожденным ими, а также к диффеоморфизмам. Структурно устойчивые системы были введены Александром Андроновым и Львом Понтрягиным в 1937 году под названием "systèmes grossiers", или грубые системы. Они объявили о характеристизации грубых систем на плоскости, известной как критерий Андронова — Понтрягина. В этом случае структурно устойчивые системы типичны: они образуют открытое и плотное множество в пространстве всех систем, снабженном соответствующей топологией. В более высоких размерностях это уже неверно, что указывает на то, что типичная динамика может быть очень сложной (ср. странный аттрактор). Важный класс структурно устойчивых систем в произвольных размерностях задается диффеоморфизмами и потоками Аносова. В конце 1950-х и начале 1960-х годов Маурисио Пейшоту и Марилия Шавис Пейшоту, вдохновленные работами Андронова и Понтрягина, разработали и доказали теорему Пейшоту — первую глобальную характеристику структурной устойчивости.

Определение

Пусть G — открытая область в Rn с компактным замыканием и гладкой (n-1)-мерной границей. Рассмотрим пространство X1(G), состоящее из ограничений на G векторных полей класса C1 на Rn, которые поперечны границе G и ориентированы внутрь. Это пространство наделено метрикой C1 стандартным образом. Векторное поле F ∈ X1(G) слабо структурно устойчиво, если для любого достаточно малого возмущения F1 соответствующие потоки топологически эквивалентны на G: существует гомеоморфизм h: G → G, который переводит ориентированные траектории F в ориентированные траектории F1. Если, кроме того, для любого ε > 0 гомеоморфизм h можно выбрать C0 ε-близким к тождественному отображению, когда F1 принадлежит подходящей окрестности F, зависящей от ε, то F называется (сильно) структурно устойчивым. Эти определения естественным образом распространяются на случай n-мерных компактных гладких многообразий с границей. Андронов и Понтрягин изначально рассматривали сильное свойство. Аналогичные определения можно дать для диффеоморфизмов вместо векторных полей и потоков: в этом случае гомеоморфизм h должен быть топологической конъюгацией. Важно отметить, что топологическая эквивалентность реализуется с потерей гладкости: отображение h, вообще говоря, не может быть диффеоморфизмом. Более того, хотя топологическая эквивалентность сохраняет ориентированные траектории, в отличие от топологической конъюгации, она не является согласованной по времени. Таким образом, соответствующее понятие топологической эквивалентности является существенным ослаблением наивной C1-конъюгации векторных полей. Без этих ограничений ни одна система с непрерывным временем, имеющая фиксированные точки или периодические орбиты, не могла бы быть структурно устойчивой. Слабо структурно устойчивые системы образуют открытое множество в X1(G), но неизвестно, справедливо ли то же самое для сильного случая.

Примеры

Необходимые и достаточные условия для структурной устойчивости векторных полей класса C1 на единичном диске D, поперечных к границе, и на двухмерной сфере S2 были установлены в основополагающей работе Андронова и Понтрягина. Согласно критерию Андронова–Понтрягина, такие поля структурно устойчивы тогда и только тогда, когда они имеют лишь конечное число сингулярных точек (состояний равновесия) и периодических траекторий (предельных циклов), все из которых невырождены (гиперболические) и не имеют связей седло-седло. Более того, неблуждающее множество системы представляет собой объединение сингулярных точек и периодических орбит. В частности, структурно устойчивые векторные поля в двух измерениях не могут иметь гомоклинических траекторий, что значительно усложняет динамику, как было обнаружено Анри Пуанкаре. Структурную устойчивость несингулярных гладких векторных полей на торе можно исследовать, используя теорию, разработанную Пуанкаре и Арно Дежоем. С помощью карты Пуанкаре вопрос сводится к определению структурной устойчивости диффеоморфизмов окружности. Как следствие теоремы Дежоя, сохраняющий ориентацию диффеоморфизм класса C2 окружности ƒ структурно устойчив тогда и только тогда, когда его число вращения рационально, ρ(ƒ) = p/q, а периодические траектории, все из которых имеют период q, невырождены: якобиан ƒq в периодических точках отличен от 1, см. карту окружности. Дмитрий Аносов обнаружил, что гиперболические автоморфизмы тора, такие как карта Арнольда «кошка», структурно устойчивы. Затем он обобщил это утверждение на более широкий класс систем, которые впоследствии стали называться диффеоморфизмами Аносова и потоками Аносова. Одним из известных примеров потока Аносова является геодезический поток на поверхности постоянной отрицательной кривизны, см. бильярд Адамара.

История и значение

Структурная стабильность системы обосновывает применение качественной теории динамических систем к анализу конкретных физических систем. Идея такого качественного анализа восходит к работам Анри Пуанкаре над задачей трёх тел в небесной механике. Приблизительно в то же время Александр Ляпунов строго исследовал стабильность малых возмущений отдельной системы. На практике закон эволюции системы (то есть дифференциальные уравнения) никогда не известен точно из-за наличия различных малых взаимодействий. Поэтому крайне важно знать, что основные характеристики динамики остаются неизменными при любом малом возмущении "модельной" системы, эволюция которой описывается некоторым известным физическим законом. Качественный анализ был далее развит Джорджем Биркгоффом в 1920-х годах, но впервые был формализован с введением понятия грубой системы Андроновым и Понтрягиным в 1937 году. Это сразу же было применено к анализу физических систем с колебаниями Андроновым, Виттом и Хайкиным. Термин "структурная стабильность" принадлежит Соломону Лефшецу, который руководил переводом их монографии на английский язык. Идеи структурной стабильности были подхвачены Стивеном Смейлом и его школой в 1960-х годах в контексте гиперболической динамики. Ранее Марстон Морс и Хасслер Уитни заложили основы, а Рене Том разработал параллельную теорию стабильности для дифференцируемых отображений, которая является ключевой частью теории сингулярностей. Том предполагал возможность применения этой теории к биологическим системам. И Смел, и Том работали в тесном контакте с Маурисио Пейшото, который разработал теорему Пейшото в конце 1950-х годов. Когда Смел начал разрабатывать теорию гиперболических динамических систем, он надеялся, что структурно стабильные системы будут "типичными". Это соответствовало бы ситуации в малых размерностях: размерности два для потоков и размерности один для диффеоморфизмов. Однако вскоре он обнаружил примеры векторных полей на многообразиях более высоких размерностей, которые нельзя сделать структурно стабильными посредством сколь угодно малого возмущения (подобные примеры были позднее построены на многообразиях размерности три). Это означает, что в более высоких размерностях структурно стабильные системы не являются плотными. Кроме того, структурно стабильная система может иметь поперечные гомоклинические траектории гиперболических седловых орбит и бесконечно много периодических орбит, даже если фазовое пространство компактно. Наиболее близким аналогом структурно стабильных систем, рассматриваемых Андроновым и Понтрягиным, в высоких размерностях являются системы Морса — Смейла.