Динамикалық жүйелердің интегралдығы туралы

Кіріспе

Кейбір динамикалық жүйелердің қасиеттері

Математикада интегралданушылық – белгілі бір динамикалық жүйелердің қасиеті. Бірнеше формалды анықтамалар бар, бірақ бейресми айтқанда, интегралданатын жүйе – бұл динамикалық жүйе, онда жеткілікті көп сақталған шамалар немесе бірінші интегралдар бар, оның қозғалысы фазалық кеңістіктен әлдеқайда кіші өлшемді субманолифпен шектеледі. Интегралдық жүйелерді сипаттайтын үш ерекшелік жиі аталады:
сақталған шамалардың максималды жиынтығының болуы (толық интегралданудың әдеттегі анықтамалық қасиеті)
алгебралық инварианттардың болуы, алгебралық геометрияда негізделген (кейде алгебралық интегралдану деп аталатын қасиет)
шешімдерді нақты функционалдық түрде анықтап білу (ішкі қасиет емес, бірақ жиі шешімділік деп аталатын нәрсе)

Интегралдық жүйелерді сапалық сипаты жағынан көбінесе хаотикалық болатын жалпы динамикалық жүйелерден ерекшелендіруге болады. Соңғыларында көбінесе сақталған шамалар жоқ және асимптотикалық тұрғыдан шешілмейді, себебі бастапқы шарттардағы кез келген кішкентай өзгеріс олардың траекториясында жеткілікті уақыт өткен соң кез келген үлкен ауытқуларға әкелуі мүмкін. Физикада зерттелетін көптеген жүйелер толық интегралданады, әсіресе гамильтондық мағынада, негізгі мысал – көп өлшемді гармоникалық осцилляторлар. Тағы бір стандартты мысал – планеталардың бір немесе екі тұрақты орталықтың (мысалы, Күннің) айналасындағы қозғалысы. Басқа элементарлы мысалдарға өзінің массалық орталығы бойынша қатты дененің қозғалысы (Ойлер айнасы) және өзінің симметрия осіндегі нүкте бойынша осьтік симметриялық қатты дененің қозғалысы (Лагранж айнасы) жатады. 1960-шы жылдардың соңында физикада шексіз көп еркіндік дәрежесіне ие толық интегралданатын жүйелердің бар екендігі анықталды, мысалы, жайылым су толқындарының кейбір модельдері (Кортевег-де Вриес теңдеуі), Шредингер теңдеуімен сипатталған оптикалық талшықтардағы Керр эффектісі және Тода торы сияқты көп дене жүйелері. Интегралдық жүйелердің қазіргі заманғы теориясы 1965 жылы Мартин Крускаль мен Норман Забускидің солитонды сандық түрде ашуымен қайта жаңғыртылды, бұл 1967 жылы кері шашырау түрлендіру әдісіне әкелді. Гамильтондық жүйелердің ерекше жағдайында, егер ағыс параметрлері инвариантты деңгейлер жиынтығында (Лагранж жапырақтарының жапырақтары) координаттар жүйесі ретінде қызмет ете алатын жеткілікті тәуелсіз Пуассонның бірінші интегралдары болса және егер ағыстар толық болса және энергия деңгейі жиынтығы тығыз болса, онда Лиувилл-Арнольд теоремасы орындалады; яғни, әрекет-бұрыш айнымалыларының болуы. Жалпы динамикалық жүйелерде мұндай сақталған шамалар жоқ; автономды гамильтондық жүйелерде энергия көбінесе жалғыз болып табылады, ал энергия деңгейі жиынтығында ағыстар көбінесе хаотикалық болады. Интегралдық жүйелерді сипаттаудың маңызды құралы – Фробень теоремасы, онда жүйе Фробень интегралдық (яғни интегралдық үлестіру арқылы туындайды) деп айтылады, егер ол жергілікті түрде максималды интегралдық көптүрлілікпен жапырақталған болса. Бірақ интегралданушылық, динамикалық жүйелер мағынасында, жергілікті емес, жаһандық қасиет, себебі ол жапырақтың тұрақты болуын талап етеді, ал жапырақтары енген субманолифолдар болып табылады. Интегралданушылық міндетті түрде жалпы шешімдердің белгілі бір арнайы функциялар жиынтығының көмегімен нақты түрде өрнектелуін білдірмейді; бұл жүйенің геометриясы мен топологиясының және динамиканың сипатының ішкі қасиеті.

Integrable systems may be seen as very different in qualitative character from more generic dynamical systems,
which are more typically chaotic systems. The latter generally have no conserved quantities, and are asymptotically intractable, since an arbitrarily small perturbation in initial conditions may lead to arbitrarily large deviations in their trajectories over a sufficiently large time. Many systems studied in physics are completely integrable, in particular, in the Hamiltonian sense, the key example being multi dimensional harmonic oscillators. Another standard example is planetary motion about either one fixed center (e. g., the sun) or two. Other elementary examples include the motion of a rigid body about its center of mass (the Euler top) and the motion of an axially symmetric rigid body about a point in its axis of symmetry (the Lagrange top). In the late 1960s, it was realized that there are completely integrable systems in physics having an infinite number of degrees of freedom, such as some models of shallow water waves (Korteweg–de Vries equation), the Kerr effect in optical fibres, described by the nonlinear Schrödinger equation, and certain integrable many body systems, such as the Toda lattice. The modern theory of integrable systems was revived with the numerical discovery of solitons by Martin Kruskal and Norman Zabusky in 1965, which led to the inverse scattering transform method in 1967. In the special case of Hamiltonian systems, if there are enough independent Poisson commuting first integrals for the flow parameters to be able to serve as a coordinate system on the invariant level sets (the leaves of the Lagrangian foliation), and if the flows are complete and the energy level set is compact, this implies the Liouville Arnold theorem; i. e., the existence of action angle variables. General dynamical systems have no such conserved quantities; in the case of autonomous Hamiltonian systems, the energy is generally the only one, and on the energy level sets, the flows are typically chaotic. A key ingredient in characterizing integrable systems is the Frobenius theorem, which states that a system is Frobenius integrable (i. e., is generated by an integrable distribution) if, locally, it has a foliation by maximal integral manifolds. But integrability, in the sense of dynamical systems, is a global property, not a local one, since it requires that the foliation be a regular one, with the leaves embedded submanifolds. Integrability does not necessarily imply that generic solutions can be explicitly expressed in terms of some known set of special functions; it is an intrinsic property of the geometry and topology of the system, and the nature of the dynamics.

Жалпы динамикалық жүйелер

Дифференциалданатын динамикалық жүйелер контекстінде интегралданушылық ұғымы инвариантты, реттелген жапырақтардың болуын білдіреді; яғни, жапырақтары ағымның әсеріне инвариант болатын ең төменгі өлшемді енгізілген субманолифолдар. Осылайша, инвариантты жапырақтардың өлшемдеріне байланысты интегралдану дәрежесінің өзгеруі мүмкін. Бұл ұғым Гамильтон жүйелері үшін Лиувилл мағынасындағы толық интегралданушылық түрінде жетілдіріледі (төменде қараңыз), және осы контексте көбінесе осы түрі қолданылады. Интегралданушылық ұғымының кеңейтілген түрі дискретті жүйелерге, мысалы, торларға да қолданылады. Бұл анықтама дифференциалдық теңдеулер жүйесі немесе шекті айырыс теңдеулері болатын эволюциялық теңдеулерді сипаттау үшін бейімделуге болады. Интегралданатын және интегралдана алмайтын динамикалық жүйелер арасындағы айырмашылықтың сапалық тұрғыдан тұрақты қозғалысқа қарсы хаотикалық қозғалыс сипаттамасы бар, сондықтан бұл жүйенің нақты түрде интегралдауға болатындығынан емес, оның ішкі қасиетінен туындайды.

Гамильтондық жүйелер мен Лиувилл интеграциялануы

Гамильтондық жүйелердің ерекше жағдайында Лиувилл мағынасындағы интегралданушылық ұғымы бар. (Лиувилл-Арнольд теоремасын қараңыз.) Лиувилл интегралдануы фазалық кеңістіктің инвариантты көптүрліліктермен тұрақты жапырақталуы бар екенін білдіреді, мұнда жапырақталу инварианттарымен байланысты гамильтониялық векторлық өрістер тангенс таралымын жабады. Мұны айтудың тағы бір жолы – фазалық кеңістіктегі тәуелсіз функциялардың максималды жиынтығы, олар функционалдық түрде тәуелсіз және Пуассон қатыстырылымдары гамильтониямен және бір-бірімен нөлге тең болады (яғни, Пуассон коммутациялайтын инварианттар). Шектелген өлшемдерде, егер фазалық кеңістік симплектикалық болса (яғни, Пуассон алгебрасының орталығы тек тұрақтылардан ғана тұрады), онда оның өлшемі жұп болуы керек, ал тәуелсіз Пуассон коммутациялайтын инварианттардың максималды саны (гамильтонияның өзін қоса алғанда) болады. Жапырақтың жапырақтары симплектикалық формаға қатысты толығымен изотроптық, ал мұндай максималды изотроптық жапырақталу Лагранж жапырақталуы деп аталады. Барлық автономды гамильтониялық жүйелерде (яғни, гамильтониясы мен Пуассон қатыстырылымдары уақыттан тікелей тәуелді емес жүйелерде) кем дегенде бір инвариант болады; атап айтқанда, өзінің ағыны бойынша мәні энергия болып табылатын гамильтония. Егер энергия деңгейлерінің жиынтығы тығыз болса, Лагранж жапырақталуының жапырақтары торлар болады, ал олардағы табиғи сызықтық координаттар «бұрыштық» айнымалылар деп аталады. Каноникалық форманың циклдары «әрекет» айнымалылары деп аталады, ал нәтижедегі каноникалық координаттар «әрекет-бұрыш» айнымалылары деп аталады (төменде қараңыз). Сондай-ақ, Лиувилл мағынасындағы толық интегралданушылық пен ішінара интегралданушылық, сондай-ақ суперинтегралданушылық және максималды суперинтегралданушылық ұғымдары бар. Негізінен, бұл айырмашылықтар жапырақталудың жапырақтарының өлшемдеріне сәйкес келеді. Егер тәуелсіз Пуассон коммутациялайтын инварианттардың саны максималдыдан кем болса (бірақ автономды жүйелер үшін біреуден көп болса), жүйе ішінара интегралданатын болады. Егер Пуассон коммутациялайтын максималды сандан артық функционалдық түрде тәуелсіз инварианттар болса, және осылайша инвариантты жапырақталудың жапырақтарының өлшемдері n-ден кем болса, жүйе суперинтегралданатын болады. Егер бір өлшемді жапырақтары (сызықтары) бар тұрақты жапырақталу болса, ол максималды суперинтегралданатын болады.

In the special setting of Hamiltonian systems, we have the notion of integrability in the Liouville sense. (See the Liouville–Arnold theorem.) Liouville integrability means that there exists a regular foliation of the phase space by invariant manifolds such that the Hamiltonian vector fields associated with the invariants of the foliation span the tangent distribution. Another way to state this is that there exists a maximal set of functionally independent Poisson commuting invariants (i. e., independent functions on the phase space whose Poisson brackets with the Hamiltonian of the system, and with each other, vanish). In finite dimensions, if the phase space is symplectic (i. e., the center of the Poisson algebra consists only of constants), it must have even dimension and the maximal number of independent Poisson commuting invariants (including the Hamiltonian itself) is The leaves of the foliation are totally isotropic with respect to the symplectic form and such a maximal isotropic foliation is called Lagrangian. All autonomous Hamiltonian systems (i. e. those for which the Hamiltonian and Poisson brackets are not explicitly time dependent) have at least one invariant; namely, the Hamiltonian itself, whose value along the flow is the energy. If the energy level sets are compact, the leaves of the Lagrangian foliation are tori, and the natural linear coordinates on these are called "angle" variables. The cycles of the canonical form are called the action variables, and the resulting canonical coordinates are called action angle variables (see below). There is also a distinction between complete integrability, in the Liouville sense, and partial integrability, as well as a notion of superintegrability and maximal superintegrability. Essentially, these distinctions correspond to the dimensions of the leaves of the foliation. When the number of independent Poisson commuting invariants is less than maximal (but, in the case of autonomous systems, more than one), we say the system is partially integrable. When there exist further functionally independent invariants, beyond the maximal number that can be Poisson commuting, and hence the dimension of the leaves of the invariant foliation is less than n, we say the system is superintegrable. If there is a regular foliation with one dimensional leaves (curves), this is called maximally superintegrable.

Гамильтон-Джакоби әдісі

Каноникалық түрлендіру теориясында Гамильтон-Джакоби әдісі бар, онда Гамильтон теңдеулерінің шешімдері байланысты Гамильтон-Джакоби теңдеуінің толық шешімін бірінші кезекте тауып ізделеді. Классикалық терминологияда бұл, толықтай назардан тыс қалдырылатын айнымалылардан тұратын каноникалық координаттар жиынтығына түрлендіруді анықтау ретінде сипатталады; яғни, Гамильтондық каноникалық "позиция" координаттарының толық жиынтығына тәуелді емес, сондықтан сәйкес каноникалық импульстардың бәрі сақталатын шамалар болып табылады. Энергия деңгейлерінің жиынтықтары болған жағдайда, бұл әрекет-бұрыш айнымалыларын анықтаудың бастапқы қадамы болып табылады. Гамильтон-Джакоби типті дербес дифференциалдық теңдеулердің жалпы теориясында толық шешім (яғни, n тәуелсіз интегралдау тұрақтыларына тәуелді, мұнда n – конфигурация кеңістігінің өлшемі) өте жалпы жағдайларда, бірақ тек локальды түрде ғана болады. Сондықтан Гамильтон-Джакоби теңдеуінің толық шешімінің болуы, Лиувилл мағынасында толық интегралданудың мінездемесі емес. "Анық интегралдануы" мүмкін көптеген жағдайларда айнымалылардың толық бөлінуі қарастырылады, онда бөліну тұрақтылары қажетті интегралдау тұрақтыларының толық жиынтығын қамтамасыз етеді. Тек осы тұрақтыларды толық фазалық кеңістікте, Лагранж жапырақтарына шектелген Пуассон коммутациялық функцияларының толық жиынтығының мәндері ретінде қайта қарастыруға болатын жағдайда ғана, жүйе Лиувилл мағынасында толық интегралдануы мүмкін деп есептелуі керек.

Солитондар және кері спектрлік әдістер

Классикалық интеграцияланатын жүйелерге қызығушылықтың қайта жандануы 1960 жылдардың аяғында солитондардың табылуымен байланысты болды. Солитондар – Кортевег-де Врис теңдеуі сияқты бөлшектік дифференциалдық теңдеулердің берік тұрақты, локализацияланған шешімдері (бұл теңдеулер шалшық ойпаңдардағы 1 өлшемді диссипацияланбайтын сұйықтық динамикасын сипаттайды) осы теңдеулерді шексіз өлшемді интеграцияланатын Гамильтон жүйелері ретінде қарастыру арқылы түсіндірілуге мүмкіндік берді. Оларды зерттеу мұндай жүйелерді «интеграциялау» үшін өте тиімді тәсілге – кері шашырату трансформациясына және одан да жалпы кері спектрлік әдістерге (көбінесе Риман-Гильберт мәселелеріне келтіріледі) әкелді, бұл әдістер Фурье талдамасы сияқты жергілікті сызықтық әдістерді, байланысты интеграл теңдеулерін шешу арқылы, жергілікті емес сызықтылауға жалпылайды. Бұл әдістің негізгі идеясы – фазалық кеңістіктегі орнымен анықталатын және оның «спектрі» (тиісті түрде жалпыланған мағынада) жүйенің динамикасы аясында өзгермейтіндей эволюциялайтын сызықтық операторды енгізу болып табылады, қараңыз Лакс жұбы. Бұл белгілі бір жағдайларда жүйені толық интеграциялауға жеткілікті инварианттарды немесе «қозғалыс интегралдарын» қамтамасыз етеді. КдВ теңдеуі сияқты шексіз еркіндік дәрежесіне ие жүйелер үшін бұл Лиувилль интеграциялану қасиетін нақтылау үшін жеткіліксіз. Дегенмен, тиісті шекаралық шарттар белгіленген жағдайда, спектрлік трансформацияны толығымен елеусіз координаттарға түрлендіру ретінде қарастыруға болады, онда сақталатын шамалар екі есе шексіз канондық координаттар жиынтығының жартысын құрайды және ағын оларда сызықтық болады. Кейбір жағдайларда, бұл тіпті әрекет-бұрыш айнымалыларына түрлендіру ретінде қарастырылуы мүмкін, бірақ әдетте «орналасу» айнымалыларының тек шектеулі саны ғана бұрыш координаттары болып табылады, ал қалғандары шексіз.

Кванттық интеграцияланатын жүйелер

Сонымен қатар кванттық интегралданатын жүйелер туралы ұғым бар. Кванттық жағдайда фазалық кеңістіктегі функциялар Гильберт кеңістігіндегі өзін-өзі қосатын операторлармен алмастырылуы керек, ал Пуассонның коммутациялық функцияларының ұғымы коммутациялық операторлармен алмастырылуы керек. Сақталу заңдарының ұғымы жергілікті сақталу заңдарына қатысты нақтылануы керек. Кез келген Гамильтониан өзінің энергиялық ерекше күйлеріне проекцияланатын сақталған шамалардың шексіз жиынтығына ие. Дегенмен, бұл ешқандай ерекше динамикалық құрылымды білдірмейді. Кванттық интегралдануды түсіндіру үшін еркін бөлшектер жағдайын қарастыру пайдалы. Мұндағы барлық динамика бір денеге келтіріледі. Кванттық жүйе динамикасы екі денеге келтірілетін болса, интегралданатын болып есептеледі. Янг-Бакстер теңдеуі осы келтірілудің салдары болып табылады және сақталған шамалардың шексіз жиынтығын беретін іздік тепе-теңдіктерге әкеледі. Бұл идеялардың барлығы кванттық кері шашырау әдісіне енгізілген, онда алгебралық Бете ансацы нақты шешімдер алу үшін қолданылуы мүмкін. Кванттық интегралданатын модельдердің мысалдары: Либ-Линигер моделі, Хаббард моделі және Гейзенберг моделінің бірнеше нұсқалары. Уақытқа тікелей тәуелді кванттық проблемаларда, мысалы, басқарылатын Тавис-Каммингс моделі сияқты кванттық интегралданудың басқа түрлері де белгілі.

Дәл шешілетін модельдер

Физикада толық интегралданатын жүйелер, әсіресе шексіз өлшемді жағдайда, көбінесе дәл шешілетін модельдер деп аталады. Бұл интегралданушылықтың Гамильтондық мағынадағы және жалпы динамикалық жүйелер мағынасындағы аражігін жасырады. Статистикалық механикада классикалық жүйелерге қарағанда кванттық интегралданатын жүйелерге жақынрақ болатын дәл шешілетін модельдер де бар. Екі тығыз байланысты әдіс: Янг-Бакстер теңдеулеріне негізделген Бете аньсац әдісі және кванттық кері шашырау әдісі, кері спектральдық әдістердің кванттық аналогтарын ұсынады. Бұл әдістер статистикалық механикада шешілетін модельдерді зерттеуде де маңызды рөл атқарады. "Дәл шешілуділік" ұғымы кейде "Шешімдер белгілі бір бұрыннан белгілі функциялар арқылы ашық түрде берілуі мүмкін" деген мағынада қолданылады, бұл жүйеге тән қасиет сияқты көрінеді, бірақ шындығында бізде шешімдерді беруге болатын белгілі "белгілі" функциялар бар. Бұл ұғымның өзіндік мағынасы жоқ, себебі "белгілі" функциялар көбінесе нақты берілген теңдеулерді қанағаттандыру арқылы анықталады, ал мұндай "белгілі" функциялардың тізімі үнемі кеңейіп келеді. Мұндай "интегралданушылықты" сипаттаудың өзіндік құндылығы болмаса да, ол көбінесе интегралданатын жүйелерде күтілетін реттелілікті білдіреді.