Введение

Свойство некоторых динамических систем

В математике интеграбельность — это свойство некоторых динамических систем. Хотя существует несколько различных формальных определений, неформально говоря, интегрируемая система — это динамическая система с достаточным количеством сохраняющихся величин, или первых интегралов, обеспечивающих, чтобы её движение ограничивалось подмногообразием существенно меньшей размерности, чем размерность её фазового пространства. Три особенности часто называют характеристическими для интегрируемых систем: существование максимального множества сохраняющихся величин (обычное определяющее свойство полной интегрируемости), существование алгебраических инвариантов, имеющих основу в алгебраической геометрии (свойство, иногда называемое алгебраической интеграбельностью), и явное определение решений в явной функциональной форме (не внутреннее свойство, а то, что часто называют разрешимостью). Интегрируемые системы могут существенно отличаться по качественным характеристикам от более общих динамических систем, которые, как правило, являются хаотическими системами. Последние обычно не имеют сохраняющихся величин и асимптотически недоступны для анализа, поскольку произвольно малое возмущение начальных условий может привести к произвольно большим отклонениям в их траекториях с течением достаточно большого времени. Многие системы, изучаемые в физике, являются полностью интегрируемыми, в частности, в гамильтоновом смысле, ключевым примером которых служат многомерные гармонические осцилляторы. Другим стандартным примером является движение планет вокруг одного фиксированного центра (например, Солнца) или двух. Другие элементарные примеры включают движение твёрдого тела вокруг его центра масс (волчок Эйлера) и движение осесимметричного твёрдого тела вокруг точки на его оси симметрии (волчок Лагранжа). В конце 1960-х годов было осознано, что в физике существуют полностью интегрируемые системы с бесконечным числом степеней свободы, такие как некоторые модели мелководных волн (уравнение Кортевега — де Вриса), эффект Керра в оптических волокнах, описываемый нелинейным уравнением Шрёдингера, и некоторые интегрируемые системы многих тел, такие как решётка Тода. Современная теория интегрируемых систем была возрождена с числовым открытием солитонов Мартином Крускалом и Норманом Забуски в 1965 году, что привело к методу обратного рассеяния в 1967 году. В особом случае гамильтоновых систем, если существует достаточное количество независимых коммутирующих по Пуассону первых интегралов для параметров потока, чтобы они могли служить системой координат на инвариантных уровнях (листьях лагранжевой листвования), и если потоки полны, а энергетический уровень компактен, то это влечёт за собой теорему Лиувилля — Арнольда, то есть существование переменных действия и угла. Общие динамические системы не обладают такими сохраняющимися величинами; в случае автономных гамильтоновых систем энергия обычно является единственной, а на энергетических уровнях потоки обычно хаотичны. Ключевым элементом в характеристике интегрируемых систем является теорема Фробениуса, которая утверждает, что система является Фробениусово интегрируемой (то есть порождается интегрируемым распределением), если локально она имеет листвование максимальными интегральными многообразиями. Однако интеграбельность, в смысле динамических систем, является глобальным свойством, а не локальным, поскольку она требует, чтобы листвование было регулярным, а листья были вложенными подмногообразиями. Интегрируемость не обязательно подразумевает, что общие решения могут быть явно выражены через некоторый известный набор специальных функций; это внутреннее свойство геометрии и топологии системы и характера динамики.

Общие динамические системы

В контексте дифференцируемых динамических систем понятие интеграбельности относится к существованию инвариантных, регулярных слоений, то есть слоений, чьи листья являются вложенными подмногообразиями наименьшей возможной размерности, инвариантными относительно потока. Таким образом, существует переменное понятие степени интеграбельности, зависящее от размерности листьев инвариантного слоения. Эта концепция имеет уточнение в случае гамильтоновых систем, известное как полная интеграбельность в смысле Лиувиля (см. ниже), что наиболее часто подразумевается в данном контексте. Расширение понятия интеграбельности также применимо к дискретным системам, таким как решетки. Данное определение может быть адаптировано для описания уравнений эволюции, которые являются системами дифференциальных уравнений или уравнениями конечных разностей. Различие между интегрируемыми и неинтегрируемыми динамическими системами имеет качественное следствие в виде регулярного движения в отличие от хаотического движения и, следовательно, является внутренним свойством, а не просто вопросом о возможности явного интегрирования системы в аналитическом виде.

Гамильтоновские системы и интегральность Лиувиля

В специальной постановке гамильтоновых систем существует понятие интегральности в смысле Лиувиля (см. теорему Лиувиля — Арнольда). Интеграбельность Лиувиля означает, что существует регулярное расслоение фазового пространства инвариантными многообразиями, такое что гамильтоновы векторные поля, связанные с инвариантами расслоения, порождают тангенциальное распределение. Другой способ сформулировать это: существует максимальное множество функционально независимых инвариантов Пуассона, то есть независимых функций на фазовом пространстве, скобки Пуассона которых с гамильтонианом системы и друг с другом равны нулю. В конечномерном случае, если фазовое пространство симплектично (то есть центр алгебры Пуассона состоит только из констант), оно должно иметь четную размерность, а максимальное число функционально независимых инвариантов Пуассона (включая сам гамильтониан) равно. Листья расслоения полностью изотропны относительно симплектической формы, и такое максимальное изотропное расслоение называется лагранжевым. Все автономные гамильтоновы системы (то есть системы, для которых гамильтониан и скобки Пуассона явно не зависят от времени) имеют по крайней мере один инвариант, а именно сам гамильтониан, значение которого вдоль потока представляет собой энергию. Если энергетические уровни компактны, листья лагранжева расслоения являются торами, а естественные линейные координаты на них называются угловыми переменными. Циклы канонической формы называются переменными действия, а полученные канонические координаты — переменными действия и угла (см. ниже). Также существует различие между полной интеграбельностью в смысле Лиувиля и частичной интеграбельностью, а также понятия суперинтеграбельности и максимальной суперинтеграбельности. По сути, эти различия соответствуют размерности листьев расслоения. Если число функционально независимых инвариантов Пуассона меньше максимального (но, в случае автономных систем, больше единицы), то система называется частично интегрируемой. Если существуют дополнительные функционально независимые инварианты, превышающие максимальное число, которые могут коммутировать по Пуассону, и, следовательно, размерность листьев инвариантного расслоения меньше n, то система называется суперинтегрируемой. Если существует регулярное расслоение с одномерными листьями (кривыми), то оно называется максимально суперинтегрируемым.

Подход Гамильтона - Джейкоби

В теории канонических преобразований существует метод Гамильтона — Якоби, в котором решения уравнений Гамильтона ищут, сначала находя полное решение соответствующего уравнения Гамильтона — Якоби. В классической терминологии это описывается как определение преобразования в канонический набор координат, состоящий из полностью игнорируемых переменных, то есть тех, в которых гамильтониан не зависит от полного набора канонических "координат", и, следовательно, соответствующие канонически сопряженные импульсы являются всеми сохраняющимися величинами. В случае компактных энергетических уровней это первый шаг к определению переменных действия и угла. В общей теории частных дифференциальных уравнений типа Гамильтона — Якоби полное решение (то есть решение, зависящее от n независимых констант интегрирования, где n — размерность пространства конфигураций) существует в очень общих случаях, но лишь в локальном смысле. Следовательно, существование полного решения уравнения Гамильтона — Якоби отнюдь не является характеристикой полной интегрируемости в смысле Лиувилля. Большинство случаев, которые могут быть "явно проинтегрированы", включают полное разделение переменных, при котором константы разделения обеспечивают полный набор необходимых констант интегрирования. Только когда эти константы можно переинтерпретировать в рамках полного фазового пространства как значения полного набора функций Пуассона, коммутирующих между собой, ограниченных листьями лагранжевой листвования, система может считаться полностью интегрируемой в смысле Лиувилля.

Солитоны и обратные спектральные методы

Возрождение интереса к классическим интегрируемым системам произошло с открытием в конце 1960-х годов, что солитоны – сильно устойчивые, локализованные решения уравнений в частных производных, таких как уравнение Кортевега — де Вриса (описывающее одномерную недиссипативную динамику жидкости в неглубоких бассейнах), можно понять, рассматривая эти уравнения как бесконечномерные интегрируемые гамильтоновы системы. Их изучение привело к весьма плодотворному подходу к "интегрированию" таких систем – обратному преобразованию рассеяния и более общим обратным спектральным методам (часто сводимым к задачам Римана — Гильберта), которые обобщают локальные линейные методы, такие как анализ Фурье, для нелокальной линеаризации посредством решения связанных интегральных уравнений. Основная идея этого метода заключается во введении линейного оператора, определяемого положением в фазовом пространстве и эволюционирующего в динамике рассматриваемой системы таким образом, что его "спектр" (в подходящем обобщенном смысле) инвариантен относительно эволюции, см. пару Лакса. Это, в определенных случаях, обеспечивает достаточное количество инвариантов, или "интегралов движения", для того чтобы система оказалась полностью интегрируемой. В случае систем с бесконечным числом степеней свободы, таких как уравнение KdV, этого недостаточно для точного определения свойства лиувиллевой интегрируемости. Однако при правильно определенных граничных условиях спектральное преобразование можно интерпретировать как преобразование в полностью игнорируемые координаты, в которых сохраняющиеся величины образуют половину бесконечного двустороннего множества канонических координат, а течение линеаризуется в этих координатах. В некоторых случаях это можно даже рассматривать как преобразование в переменные действие-угол, хотя обычно только конечное число переменных "позиции" фактически являются угловыми координатами, а остальные – некомпактными.

Квантовые интегральные системы

Существует также понятие квантовых интегрируемых систем. В квантовом случае функции на фазовом пространстве должны быть заменены самосопряжёнными операторами в гильбертовом пространстве, а понятие коммутирующих функций Пуассона – коммутирующими операторами. Понятие законов сохранения должно быть уточнено до локальных законов сохранения. Каждый гамильтониан обладает бесконечным набором сохраняющихся величин, задаваемых проекторами на его энергетические собственные состояния. Однако это не подразумевает какой-либо особой динамической структуры. Для понимания квантовой интегрируемости полезно рассмотреть случай свободной частицы. Здесь вся динамика приводима к задаче об одном теле. Квантовая система считается интегрируемой, если её динамика приводима к задаче о двух телах. Уравнение Янга-Бакстера является следствием этой приводимости и приводит к тождествам по следу, которые обеспечивают бесконечный набор сохраняющихся величин. Все эти идеи воплощены в квантовом методе обратного рассеяния, где алгебраический метод Бете может быть использован для получения явных решений. Примерами квантовых интегрируемых моделей являются модель Либа-Линигера, модель Хаббарда и некоторые вариации модели Гейзенберга. Другие типы квантовой интегрируемости известны для явно зависящих от времени квантовых задач, таких как управляемая модель Тависа-Каммингса.

Точно разрешимые модели

В физике полностью интегрируемые системы, особенно в бесконечномерном случае, часто называют точно решаемыми моделями. Это скрывает различие между интеграбельностью в гамильтоновом смысле и более общим пониманием в динамических системах. В статистической механике также существуют точно решаемые модели, которые теснее связаны с квантовыми интегрируемыми системами, чем с классическими. Два тесно связанных метода – подход Бете-анзаца, в его современном понимании, основанный на уравнениях Янга-Бакстера, и квантовый метод обратного рассеяния – предоставляют квантовые аналоги обратных спектральных методов. Они равнозначно важны при изучении решаемых моделей в статистической механике. Неточное представление о "точной разрешимости" как о возможности "выразить решения явно через некоторые заранее известные функции" также иногда используется, будто бы это внутреннее свойство самой системы, а не чисто вычислительная особенность, связанная с тем, что нам доступны некоторые "известные" функции, в терминах которых решения могут быть выражены. Это представление лишено внутреннего смысла, поскольку то, что понимается под "известными" функциями, зачастую определяется именно тем, что они удовлетворяют определенным заданным уравнениям, а список таких "известных" функций постоянно расширяется. Хотя подобная характеристика "интеграбельности" не имеет внутренней обоснованности, она часто подразумевает ту регулярность, которую можно ожидать в интегрируемых системах.