Кіріспе

Эмил Артиннің бірқатар еңбектерінде (1924; 1927; 1930) орнатылған Артиннің өзара байланыс заңы – сандар теориясындағы маңызды теорема болып табылады және жаһандық сыныптық өріс теориясының негізгі бөлігін құрайды. "Өзара байланыс заңы" термині одан бұрынғы, квадраттық өзара байланыс заңы, Эйзенштейн мен Куммердің өзара байланыс заңдары және норма символы үшін Гилберттің көбейту формуласы сияқты нақты сандар теориясы мәлімдемелерін жалпылады. Артиннің нәтижесі Хилберттің тоғызыншы мәселесіне ішінара жауап берді.

Маңыздылығы

Артиннің өзара байланыс заңы, жаһандық өріс K-ның абсолютті Галуа тобының абельдік тобына сипаттама беруді білдіреді, бұл Хассе жергілікті-жаһандық принципіне және Фробениус элементтерін пайдалануға негізделген. Такагидің барлық теоремасымен бірге, ол K-ның абельдік кеңейтулерін K арифметикасы тұрғысынан сипаттауға және олардағы архимед емес орындардың қалай өзгеретінін түсінуге қолданылады. Сондықтан, Артиннің өзара байланыс заңы жаһандық сыныптық өріс теориясының маңызды теоремаларының бірі ретінде қарастырылуы мүмкін. Оны Артин L-функцияларының мероморфты екенін дәлелдеуге, сондай-ақ Чеботарёв тығыздық теоремасын дәлелдеуге болады. 1927 жылы жалпы өзара байланыс заңы жарияланғаннан кейін екі жыл өткен соң, Артин И. Шурдың трансфер гомоморфизмін қайта ашты және өзара байланыс заңы арқылы алгебралық сан өрістерінің идеалдық сыныптары үшін принципализация мәселесін шекті абельдік емес топтардың трансферттерінің ядроларын анықтауға қатысты топтық теориялық міндетке аударды.

Квадраттық өрістер

Егер квадратсыз бүтін сан болса, онда оны {±1} арқылы анықтауға болады. L санын қамтитын дискриминант Δ, d-нің 1 (mod 4) екеніне байланысты d немесе 4d-ге тең болады. Артин картасы Δ-ны бөлмейтін p жай сандары үшін келесідей анықталады:

мұндағы – Кронекер символы. Нақтырақ айтқанда, L-нің жетекшісі Δ оң болғанда (Δ) негізгі идеалы, ал Δ теріс болғанда (Δ)∞ негізгі идеалы болып табылады. Артин картасы p жай санын Δ идеалдық (n) кескінге бейнелейді, ол Кронекер символы арқылы беріледі. Бұл p жай санының L-де бөлінетінін немесе инертті екенін, Кронекер символының 1 немесе -1 тең болуына қарай көрсетеді.

Квадраттық өзара байланыстың байланысы

P және әр түрлі тақ жай сандар болсын. Қолайлылық үшін, (бұл әрқашан 1 (mod 4) болады). Квадраттық өзара байланыс мынадай: Квадраттық және Артиннің өзара байланыс заңдары арасындағы байланыс, квадраттық дене және циклотомдық денені зерттеу арқылы келесідей беріледі. K сандық денесінің Гекке мінездемесі (немесе Größencharakter) – K-ның идеалдық кластық тобының квазимінездемесі деп анықталады. Роберт Лэнгландс Гекке мінездемелерін K-ның аделдер сақинасының үстіндегі редуктивті алгебралық топ GL(1) автоморфтық формалары ретінде түсіндірді. Галуа тобы G болатын абельдік Галуа кеңейтуі болсын. Содан кейін, кез келген мінездеме үшін (яғни, G тобының бір өлшемді кешенді бейнелеуі), K-ның Гекке мінездемесі бар, мұнда сол жақ – σ мінездемесімен кеңейтуге байланысты Артин L-функциясы, ал оң жақ – χ, 7-бөлімде келтірілген Гекке L-функциясы. Артиннің өзара байланыс заңының L-функциялардың теңдігі ретінде тұжырымдалуы n-өлшемді бейнелеулерге жалпылауға мүмкіндік береді, бірақ тікелей сәйкестік әлі де жоқ.