Закон взаимности Артина: обобщение квадратичной взаимности, решение 9-й проблемы Гильберта. Описывает расширения полей и структуру абсолютной группы Галуа.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Закон взаимности Артина, установленный Эмилем Артином в серии статей (1924; 1927; 1930), является общей теоремой в теории чисел и составляет центральную часть глобальной теории полей классов. Термин "закон взаимности" относится к долгой истории более конкретных теоремо-теоретических утверждений, которые он обобщил, начиная с закона квадратичной взаимности и законов взаимности Эйзенштейна и Куммера, и заканчивая формулой произведения Гильберта для символа нормы. Результат Артина дал частичное решение девятой проблемы Гильберта.
The Artin reciprocity law, which was established by Emil Artin in a series of papers (1924; 1927; 1930), is a general theorem in number theory that forms a central part of global class field theory. The term "reciprocity law" refers to a long line of more concrete number theoretic statements which it generalized, from the quadratic reciprocity law and the reciprocity laws of Eisenstein and Kummer to Hilbert's product formula for the norm symbol. Artin's result provided a partial solution to Hilbert's ninth problem.
Значение
Закон взаимности Артина подразумевает описание абелианизации абсолютной группы Галуа глобального поля K, основанное на принципе локально-глобальности Хассе и использовании элементов Фробениуса. Вместе с теоремой о существовании Такаги, он используется для описания абелевых расширений K в терминах арифметики K и для понимания поведения неархимедовых мест в этих расширениях. Таким образом, закон взаимности Артина можно интерпретировать как одну из основных теорем глобальной теории полей классов. Его можно использовать для доказательства мероморфности L-функций Артина, а также для доказательства теоремы о плотности Чеботарева. Спустя два года после публикации своего общего закона взаимности в 1927 году, Артин заново открыл гомоморфизм переноса И. Шура и использовал закон взаимности для сведения проблемы принципализации классов идеалов алгебраических числовых полей к теоретико-групповой задаче определения ядер переносов конечных неабелевых групп.
Artin's reciprocity law implies a description of the abelianization of the absolute Galois group of a global field K which is based on the Hasse local–global principle and the use of the Frobenius elements. Together with the Takagi existence theorem, it is used to describe the abelian extensions of K in terms of the arithmetic of K and to understand the behavior of the nonarchimedean places in them. Therefore, the Artin reciprocity law can be interpreted as one of the main theorems of global class field theory. It can be used to prove that Artin L functions are meromorphic, and also to prove the Chebotarev density theorem. Two years after the publication of his general reciprocity law in 1927, Artin rediscovered the transfer homomorphism of I. Schur and used the reciprocity law to translate the principalization problem for ideal classes of algebraic number fields into the group theoretic task of determining the kernels of transfers of finite non abelian groups.
Квадратные поля
Если d – целое число, свободное от квадратов, и p – простое число, то d можно отождествить с множеством {±1}. Дискриминант Δ расширения L над Q равен d или 4d в зависимости от того, сравнимо ли d с 1 по модулю 4. Карта Артина затем определяется для простых чисел p, не делящих Δ, следующим образом:
If is a squarefree integer, and , then can be identified with {±1}. The discriminant Δ of L over is d or 4d depending on whether d ≡ 1 (mod 4) or not. The Artin map is then defined on primes p that do not divide Δ by
где (d/p) – символ Лежандра (или Кронекера). Более конкретно, проводник расширения равен главному идеалу (Δ) или (Δ)∞ в зависимости от того, является ли Δ положительным или отрицательным, а карта Артина, сопоставляющая простое число p идеалу (n) в Δ, задается символом Лежандра (d/n). Это показывает, что простое число p расщепляется или остается инертным в L в зависимости от того, равен ли символ Лежандра (d/p) 1 или −1.
where is the Kronecker symbol. More specifically, the conductor of is the principal ideal (Δ) or (Δ)∞ according to whether Δ is positive or negative, and the Artin map on a prime to Δ ideal (n) is given by the Kronecker symbol This shows that a prime p is split or inert in L according to whether is 1 or −1.
Отношение к квадратической взаимности
Пусть p и q – различные нечётные простые числа. Для удобства, пусть q ≡ 1 (mod 4). Тогда, закон квадратичной взаимности утверждает, что связь между законом квадратичной и законом Артина взаимности устанавливается путем изучения квадратичного поля ℚ(√q) и циклотомического поля ℚ(ζp) следующим образом. Характер Гекке (или Größencharakter) числового поля K определяется как квазихарактер группы класса идеалов K. Роберт Лэнгландс интерпретировал характеры Гекке как автоморфные формы на редуктивной алгебраической группе GL(1) над кольцом аделей K.
Let p and be distinct odd primes. For convenience, let (which is always 1 (mod 4)). Then, quadratic reciprocity states that
Пусть L/K – абелево-галоисово расширение с группой Галуа G. Тогда для любого характера χ (т.е. одномерного комплексного представления группы G) существует характер Гекке ψ χ K, такой что
The relation between the quadratic and Artin reciprocity laws is given by studying the quadratic field and the cyclotomic field as follows. A Hecke character (or Größencharakter) of a number field K is defined to be a quasicharacter of the idèle class group of K. Robert Langlands interpreted Hecke characters as automorphic forms on the reductive algebraic group GL(1) over the ring of adeles of K.
L(s, σ) = L(s, ψ χ),
Let be an abelian Galois extension with Galois group G. Then for any character (i. e. one dimensional complex representation of the group G), there exists a Hecke character of K such that
где левая часть – это L-функция Артина, связанная с расширением L/K и характером σ, а правая часть – L-функция Гекке, связанная с χ, §7.D. Формулировка закона взаимности Артина как равенства L-функций позволяет сформулировать обобщение для n-мерных представлений, хотя прямого соответствия все еще не хватает.
where the left hand side is the Artin L function associated to the extension with character σ and the right hand side is the Hecke L function associated with χ, Section 7. D of. The formulation of the Artin reciprocity law as an equality of L functions allows formulation of a generalisation to n dimensional representations, though a direct correspondence is still lacking.