Кіріспе
Математикалық нәтиже немесе реттік қатынастар туралы аксиома. Математикада Хаусдорфтың максималдық принципі – Феликс Хаусдорфтың 1914 жылы дәлелдеген Зорн леммасының баламалы және ертерек тұжырымдамасы (Мур 1982:168). Ол кез келген ішінара реттелген жиынның кез келген толық реттелген ішкі жиыны максималды толық реттелген ішкі жиынға кіретінін көрсетеді. Хаусдорфтың максималдық принципі – ZF (Zermelo–Fraenkel жинақтар теориясы, таңдау аксиомасысыз) бойынша таңдау аксиомасына эквивалентті көптеген тұжырымдардың бірі. Бұл принцип Хаусдорфтың максималдық теоремасы немесе Куратовский леммасы деп те аталады (Келли 1955:33).
In mathematics, the Hausdorff maximal principle is an alternate and earlier formulation of Zorn's lemma proved by Felix Hausdorff in 1914 (Moore 1982:168). It states that in any partially ordered set, every totally ordered subset is contained in a maximal totally ordered subset. The Hausdorff maximal principle is one of many statements equivalent to the axiom of choice over ZF (Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice). The principle is also called the Hausdorff maximality theorem or the Kuratowski lemma (Kelley 1955:33).
Айтылым
Хаусдорф максималдық принципі кез келген ішінара реттелген жиынның әрбір толық реттелген кіші жиыны максималды толық реттелген кіші жиынға кіретінін айтады (толық реттелген кіші жиын, егер кез келген жағдайда кеңейтілсе, толық реттелген күйінде қала бермейді). Жалпы алғанда, берілген толық реттелген кіші жиынды қамтитын көптеген максималды толық реттелген кіші жиындар болуы мүмкін. Хаусдорф максималдық принципінің эквивалентті түрі – әрбір ішінара реттелген жиында максималды толық реттелген кіші жиын бар. Бұл тұжырым бастапқы түрінен шығатынын дәлелдеу үшін, А жиыны ішінара реттелген болсын. Онда А жиынының толық реттелген кіші жиыны, демек, қамтитын максималды толық реттелген кіші жиын бар, демек, әсіресе А-да максималды толық реттелген кіші жиын бар. Кері бағытта, А – ішінара реттелген жиын, ал T – А-ның толық реттелген кіші жиыны болсын. Онда жиынтықтардың кірігуі арқылы ішінара реттелген, сондықтан ол максималды толық реттелген P кіші жиынын қамтиды. Онда жиынтығы қажетті қасиеттерге ие. Хаусдорф максималдық принципінің Зорн леммасына эквивалентті екендігінің дәлелі осы дәлелге өте ұқсас.
is partially ordered by set inclusion , therefore it contains a maximal totally ordered subset P. Then the set satisfies the desired properties. The proof that the Hausdorff maximal principle is equivalent to Zorn's lemma is very similar to this proof.
Мысалдар
Егер A – жиынтықтардың кез келген жиыны болса, онда "шынайы кіші жиынтық" қатынасы A-да қатаң ішінара тәртіп болып табылады. Егер A – жазықтықтағы барлық шеңберлік аймақтардың (шеңберлердің ішкі бөліктерінің) жиыны болсын. А-ның бір максималды толық реттелген кіші жиыны – орталығы түптес шеңберлік аймақтардың барлығынан тұрады. Тағы бір максималды толық реттелген кіші жиын – түптес y осіне оң жағынан жанасатын шеңберлермен шектелетін барлық шеңберлік аймақтардан тұрады. Егер (x0, y0) және (x1, y1) – жазықтықтағы екі нүкте болса, онда y0 = y1 және x0 < x1 болған жағдайда (x0, y0) < (x1, y1) деп анықтаймыз. Бұл – екі нүкте тек бір көлденең түзуде жатқанда ғана салыстырылатын ішінара тәртіп. Толық реттелген максималды жиындар – көлденең түзулер.