Введение

Математический результат или аксиома об отношении порядка

В математике принцип максимума Хаусдорфа — это альтернативная и более ранняя формулировка леммы Зорна, доказанная Феликсом Хаусдорфом в 1914 году (Мур 1982:168). Он утверждает, что в любом частично упорядоченном множестве каждое вполне упорядоченное подмножество содержится в максимальном вполне упорядоченном подмножестве. Принцип максимума Хаусдорфа является одним из многих утверждений, эквивалентных аксиоме выбора в теории ZF (теории множеств Зермело — Френкеля без аксиомы выбора). Принцип также называют теоремой о максимуме Хаусдорфа или леммой Куратовского (Келли 1955:33).

Заявление

Принцип максимума Хаусдорфа гласит, что в любом частично упорядоченном множестве каждое вполне упорядоченное подмножество содержится в максимальном вполне упорядоченном подмножестве (вполне упорядоченном подмножестве, которое, если его расширить каким-либо образом, перестает быть вполне упорядоченным). В общем случае, может существовать множество максимальных вполне упорядоченных подмножеств, содержащих данное вполне упорядоченное подмножество. Эквивалентная формулировка принципа максимума Хаусдорфа состоит в том, что в каждом частично упорядоченном множестве существует максимальное вполне упорядоченное подмножество. Чтобы доказать, что это утверждение следует из исходной формулировки, пусть A – частично упорядоченное множество. Тогда {a} является вполне упорядоченным подмножеством A, следовательно, существует максимальное вполне упорядоченное подмножество, содержащее {a}, а значит, в частности, A содержит максимальное вполне упорядоченное подмножество. Для доказательства обратного, пусть A – частично упорядоченное множество, а T – вполне упорядоченное подмножество A. Тогда множество всех вполне упорядоченных подмножеств T частично упорядочено отношением включения, следовательно, оно содержит максимальное вполне упорядоченное подмножество P. Тогда множество P удовлетворяет требуемым свойствам. Доказательство эквивалентности принципа максимума Хаусдорфа и леммы Зорна очень похоже на это доказательство.

Примеры

Если A – любое множество множеств, то отношение "является собственным подмножеством" является строгим частичным порядком на A. Пусть A – множество всех круговых областей (внутренних частей кругов) на плоскости. Один из максимальных полностью упорядоченных поднаборов A состоит из всех круговых областей с центрами в начале координат. Другой максимальный полностью упорядоченный поднабор состоит из всех круговых областей, ограниченных окружностями, касающимися оси y справа в начале координат. Если (x0, y0) и (x1, y1) – две точки плоскости, определим (x0, y0) < (x1, y1), если y0 = y1 и x0 < x1. Это частичный порядок, при котором две точки сопоставимы только если они лежат на одной горизонтальной прямой. Максимальные полностью упорядоченные множества – это горизонтальные прямые на плоскости.