Кіріспе
Кез келген екі квадрат санның арасында жай сан болады. Адриен Мари Лежендре ұсынған Лежендре болжамы, кез келген оң бүтін сан үшін n² және (n+1)² аралығында жай сан бар екенін айтады. Бұл болжам 1912 жылы Ландаудың жай сандар бойынша қойған мәселелерінің бірі болып табылады; 2024 жылға дейін болжам дәлелденбеді де, жоққа шығарылмады.
Legendre's conjecture, proposed by Adrien Marie Legendre, states that there is a prime number between and for every positive integer The conjecture is one of Landau's problems (1912) on prime numbers; as of 2024, the conjecture has neither been proved nor disproved.
Басты бос орындар
Егер Лежендренің болжамы дұрыс болса, кез келген p және келесі үлкенірек жай сан арасындағы айырмашылық үлкен O нотациясымен көрсетілгендей болады. Бұл жай сандар арасындағы айырмашылықтарға қатысты нәтижелер мен болжамдардың бірі. Басқаларына Бертраның постулаты (жай санның аралығында болатыны туралы), Опперманның болжамы (жай санның аралығында болатыны туралы), Андриканың болжамы және Брокадтың болжамы (тізбектелген жай сандардың квадраттары арасында жай санның болатыны туралы) және Крамердің болжамы (айырмашылықтардың әрқашан өте кішкентай болатыны, яғни тәртібімен болатыны) жатады. Егер Крамердің болжамы дұрыс болса, Лежендренің болжамы барлық жеткілікті үлкен n үшін орындалады. Харальд Крамер сондай-ақ Риман гипотезасы жай сандар арасындағы ең үлкен айырмашылықтың мөлшеріне қатысты әлсіз шектеуді көрсетеді. Бас сандар теоремасы бойынша, және арасындағы жай сандардың күтілетін саны шамамен , және осы формадағы аралықтардың көп бөлігі үшін жай сандардың нақты саны осы күтілетін санға асимптотикалық екені белгілі. Бұл сан үлкен үшін үлкен болғандықтан, Лежендренің болжамына сенімділік арттырады. Бас сандар теоремасы шартты түрде немесе Риман гипотезасына сүйене отырып, жай сандарды қысқа аралықта дәл санайды, бірақ бұл дәлелденген аралықтардың ұзындығы тізбектелген квадраттар арасындағы аралықтардан ұзын, Лежендренің болжамын дәлелдеуге жеткіліксіз.
Ішінара нәтижелер
Ингемнің нәтижесінен, барлық жеткілікті үлкен үшін, екі тізбекті кубтар арасында кемінде бір жай сан болатыны шығады. Дюдек бұл тұжырымды барлық үшін де дұрыс екенін дәлелдеді. Дюдек сондай-ақ, кез келген оң бүтін сан үшін де, аралығында кемінде бір жай сан болатынын дәлелдеді. Мэтнер бұл көрсеткішті дейін төмендетті, ал Калли Хьюгилл оны дейін азайтты. Бейкер, Харман және Пинц барлық үлкен үшін аралығында жай сан болатынын дәлелдеді. Ең үлкен жай сан аралықтарының кестесі болжамның кем дегенде мәніне дейін дұрыс екенін көрсетеді, яғни .
Dudek also proved that for and any positive integer , there is a prime between and Mattner lowered this to which was further reduced to by Cully Hugill. Baker, Harman, and Pintz proved that there is a prime in the interval for all large
A table of maximal prime gaps shows that the conjecture holds to at least , meaning .