Введение

Существует простое число между любыми двумя квадратными числами. Гипотеза Лежандра, предложенная Адриеном Мари Лежандром, утверждает, что для каждого положительного целого числа *n* существует простое число между *n*² и (n+1)². Гипотеза является одной из проблем Ландау (1912) о простых числах; по состоянию на 2024 год гипотеза не доказана и не опровергнута.

Первые пробелы

Если гипотеза Лежандра верна, разрыв между любым простым числом p и следующим большим простым числом будет O(√p), как выражается в нотации «большое O». Это одна из серии результатов и гипотез, связанных с промежутками между простыми числами, то есть с расстоянием между простыми числами. К другим относятся постулат Бертрана о существовании простого числа между n и 2n, гипотеза Оппермана о существовании простых чисел между n² и (n+1)², гипотезы Андрики и Брокара о существовании простых чисел между квадратами последовательных простых чисел, и гипотеза Крамера о том, что промежутки всегда значительно меньше, порядка log²p. Если гипотеза Крамера верна, то гипотеза Лежандра будет выполняться для всех достаточно больших n. Харальд Крамер также доказал, что гипотеза Римана влечет за собой более слабую оценку O(√p log p) на размер наибольших промежутков между простыми числами. Согласно теореме о простых числах, ожидаемое количество простых чисел между x и x+√x приблизительно равно √x/log x, и дополнительно известно, что для почти всех интервалов этой формы фактическое количество простых чисел асимптотически приближается к этому ожидаемому значению. Поскольку это число велико при больших x, это подтверждает гипотезу Лежандра. Известно, что теорема о простых числах дает точную оценку количества простых чисел в коротких интервалах, либо безусловно, либо на основе гипотезы Римана, но длины интервалов, для которых это доказано, больше, чем интервалы между последовательными квадратами, что недостаточно для доказательства гипотезы Лежандра.

Частичные результаты

Из результата Ингема следует, что для всех достаточно больших *n*, существует простое число между последовательными кубами *n³* и *(n+1)³*. Дудек доказал, что это верно для всех *n*. Дудек также доказал, что для *n ≥ 2* и любого положительного целого числа *k*, существует простое число между *n³* и *(n+k)³*. Маттнер понизил это значение до *n³ + cn*, которое было далее уменьшено Кулли Хугиллом до *n³ + c'n*. Бейкер, Харман и Пинц доказали, что в интервале *[n³, (n+1)³]* для всех достаточно больших *n* существует простое число. Таблица максимальных промежутков между простыми числами показывает, что гипотеза верна по крайней мере до 4.3 × 10¹⁸, то есть *n ≤ 4.3 × 10¹⁸*.