Кіріспе
Физикада сигма моделі – өрісті белгілі бір көпқырлылықта қозғалумен шектелген нүктелік бөлшек ретінде сипаттайтын өрістік теория. Бұл көпқырлылық кез келген Риман көпқырлылығы болуы мүмкін, бірақ көбінесе ол Ли тобы немесе симметриялық кеңістік ретінде қарастырылады. Модель квантталуы мүмкін немесе квантталмауы мүмкін. Квантталмаған нұсқаның мысалы – Скайрм моделі; оны 4-тен жоғары дәрежелі сызықтық емесдіктерге байланысты кванттауға болмайды. Жалпы, сигма модельдер (классикалық) топологиялық солитондық шешімдерге ие, мысалы, Скайрм моделі үшін Скайрмион. Сигма өрісі өлшеу өрісімен байланыстырылғанда, нәтижедегі модель Гинцбург-Ландау теориясымен сипатталады. Бұл мақала негізінен сигма моделінің классикалық өріс теориясына арналған; сәйкес квантталған теория "сызықтық емес сигма моделі" атты мақалада келтірілген.
In physics, a sigma model is a field theory that describes the field as a point particle confined to move on a fixed manifold. This manifold can be taken to be any Riemannian manifold, although it is most commonly taken to be either a Lie group or a symmetric space. The model may or may not be quantized. An example of the non quantized version is the Skyrme model; it cannot be quantized due to non linearities of power greater than 4. In general, sigma models admit (classical) topological soliton solutions, for example, the Skyrmion for the Skyrme model. When the sigma field is coupled to a gauge field, the resulting model is described by Ginzburg–Landau theory. This article is primarily devoted to the classical field theory of the sigma model; the corresponding quantized theory is presented in the article titled "non linear sigma model".
Шолу
Атауының тамыры бөлшектер физикасында, онда сигма моделі пиондардың өзара әрекеттесуін сипаттайды. Өкінішке орай, "сигма мезоны" сигма моделімен сипатталмайды, ол тек оның бір компоненті ғана. Сигма моделін енгізгендер – ; σ моделі атауы олардың моделіндегі σ деп аталатын спинсіз мезонға сәйкес келетін өрістен шыққан, бұдан бұрын Джулиан Швингер енгізген скалярлы мезон. Модель O(4)-тен O(3)-қа дейінгі өздігінен симметрияны бұзудың басым прототипі ретінде қызмет етті: бұзылған үш осьтік генератор – хиральдық симметрияны бұзудың ең қарапайым көрінісі, ал тірі қалған бұзылмаған O(3) – изотопты білдіреді. Дәстүрлі бөлшектер физикасының параметрлерінде өріс әдетте SU(N) деп қабылданады, немесе сол және оң хиральды өрістердің көбейтіндісінің векторлық субкеңілі. Конденсацияланған материя теориясында өріс O(N) деп қабылданады. Айналу тобы O(3) үшін сигма моделі изотроптық ферромагнитті сипаттайды; жалпы алғанда, O(N) моделі кванттық Холл эффектісінде, суперсұйық гелий-3 және спиндік тізбектерде кездеседі. Супергравитациялық модельдерде өріс симметриялық кеңістік ретінде қабылданады. Симметриялық кеңістіктер олардың инволюциясы бойынша анықталатындықтан, олардың тангенстік кеңістігі табиғи түрде жұп және тақ теңдікті қосалқы кеңістікке бөлінеді. Бұл бөліну Калуза-Клейн теориясының өлшемдік қысқартуын ілгерілетуге көмектеседі. Ең негізгі түрінде сигма моделін нүктелік бөлшектің таза кинетикалық энергиясы ретінде алуға болады; өріс ретінде бұл тек Евклид кеңістігіндегі Дирихле энергиясы. Екі кеңістіктік өлшемде O(3) моделі толықтай интегралданады.
Анықтама
Сигма моделінің Лагранж тығыздығын әртүрлі жолдармен жазуға болады, олардың әрқайсысы белгілі бір қолдану түріне сәйкес келеді. Ең қарапайым, ең жалпы анықтама Лагранжды Риманн көптүрлілігінде метрикалық тензордың кері тартылуының метрикалық ізін ретінде жазады. Уақыт-кеңістігіндегі өріс үшін бұл былай жазылуы мүмкін:
where the is the metric tensor on the field space , and the are the derivatives on the underlying spacetime manifold. This expression can be unpacked a bit. The field space can be chosen to be any Riemannian manifold. Historically, this is the "sigma" of the sigma model; the historically appropriate symbol is avoided here to prevent clashes with many other common usages of in geometry. Riemannian manifolds always come with a metric tensor Given an atlas of charts on , the field space can always be locally trivialized, in that given in the atlas, one may write a map giving explicit local coordinates on that patch. The metric tensor on that patch is a matrix having components
The base manifold must be a differentiable manifold; by convention, it is either Minkowski space in particle physics applications, flat two dimensional Euclidean space for condensed matter applications, or a Riemann surface, the worldsheet in string theory. The is just the plain old covariant derivative on the base spacetime manifold When is flat, is just the ordinary gradient of a scalar function (as is a scalar field, from the point of view of itself.) In more precise language, is a section of the jet bundle of .
мұнда – өріс кеңістігіндегі метрикалық тензор, ал – негізгі уақыт-кеңістігіндегі туындылар. Бұл өрнекті біршама ашуға болады. Өріс кеңістігін кез келген Риманн көптүрлілігі ретінде таңдауға болады. Тарихи тұрғыдан бұл сигма моделінің «сигмасы» болып табылады; геометриядағы көптеген басқа қолданыстармен қақтығыстарды болдырмау үшін мұнда тарихи тұрғыдан тиісті символдан аулақ тұрамыз. Риманн көптүрліліктері әрқашан метрикалық тензормен бірге келеді. –ның карталар атласын ескере отырып, өріс кеңістігін әрқашан жергілікті түрде тривиализациялауға болады, яғни атласта берілген үшін, сол жапсырмадағы нақты жергілікті координаттарды беретін картаны жазуға болады. Бұл жапсырмадағы метрикалық тензор – компоненттері бар матрица болып табылады. Базалық көптік дифференциалдауға болатын көптік болуы керек; конвенция бойынша, ол бөлшектер физикасы қолданыстарында Минковский кеңістігі, конденсирленген материя қолданыстарында жазық екі өлшемді Евклид кеңістігі немесе жіп теориясындағы әлемдік бет – Риманн беті болып табылады. – базалық уақыт-кеңістігіндегі ковариантты туындысы ғана. Егер жазық болса, онда ол скалярлық функцияның қарапайым градиенті болады (өйткені – өзінің қарапайым скалярлық өрісі). Нақтырақ айтқанда, – .
where the is the metric tensor on the field space , and the are the derivatives on the underlying spacetime manifold. This expression can be unpacked a bit. The field space can be chosen to be any Riemannian manifold. Historically, this is the "sigma" of the sigma model; the historically appropriate symbol is avoided here to prevent clashes with many other common usages of in geometry. Riemannian manifolds always come with a metric tensor Given an atlas of charts on , the field space can always be locally trivialized, in that given in the atlas, one may write a map giving explicit local coordinates on that patch. The metric tensor on that patch is a matrix having components
The base manifold must be a differentiable manifold; by convention, it is either Minkowski space in particle physics applications, flat two dimensional Euclidean space for condensed matter applications, or a Riemann surface, the worldsheet in string theory. The is just the plain old covariant derivative on the base spacetime manifold When is flat, is just the ordinary gradient of a scalar function (as is a scalar field, from the point of view of itself.) In more precise language, is a section of the jet bundle of .
Мысал: O ((N) сызықтық емес сигма моделі
Кронэкер дельтасын, яғни Евклид кеңістігіндегі скалярлық көбейтіндіні ескере отырып, сызықсыз сигма моделін аламыз. Яғни, бірлік векторын ретінде жазыңыз, онда , бұл – қалыпты Евклидтік көбейтінді. Содан кейін шар, оның изометриялары айналу тобы болып табылады. Лагранжианды былай жазуға болады:
For , this is the continuum limit of the isotropic ferromagnet on a lattice, i. e. of the classical Heisenberg model. For , this is the continuum limit of the classical XY model. See also the n vector model and the Potts model for reviews of the lattice model equivalents. The continuum limit is taken by writing
as the finite difference on neighboring lattice locations Then in the limit , and after dropping the constant terms (the "bulk magnetization").
-ге тең болғанда, бұл тордағы изотропты ферромагниттің, яғни классикалық Гейзенберг моделінің үздіксіз шегі. -ге тең болғанда, бұл классикалық XY моделінің үздіксіз шегі. Торлық модельдерге қатысты шолулар үшін n-векторлық модель мен Поттс моделіне де қараңыз. Үздіксіз шек көрші торлық нүктелердегі шекті айырма ретінде алынады. Содан кейін , және тұрақты мүшелерді жойғаннан кейін ("көлемдік магниттеу").
For , this is the continuum limit of the isotropic ferromagnet on a lattice, i. e. of the classical Heisenberg model. For , this is the continuum limit of the classical XY model. See also the n vector model and the Potts model for reviews of the lattice model equivalents. The continuum limit is taken by writing
as the finite difference on neighboring lattice locations Then in the limit , and after dropping the constant terms (the "bulk magnetization").
Негізгі түсініктер мен түсіндірмелер
Классикалық (квантталмаған) сигма моделі туралы бірнеше түсіндіру және негізгі ескертулер жасауға болады. Біріншісі, классикалық сигма моделін өзара әрекеттеспейтін кванттық механиканың моделі ретінде қарастыруға болады. Екіншісі энергияның мағынасын түсіндіруге байланысты.
Әр түрлі кеңістіктердегі нәтижелер
Ғарыш көбінесе Lie тобы ретінде қарастырылады, әдетте бөлшектер физикасының дәстүрлі модельдерінде SU(N), қысыңқы материя теорияларында O(N), ал супергравитация модельдерінде симметриялық кеңістік ретінде. Симметриялық кеңістіктер өздерінің инволюциясы арқылы анықталғандықтан, олардың жанама кеңістігі (яғни, қайда орналасқандығы) табиғи түрде жұп және тақ паритеттілікке ие қосалқы кеңістіктерге бөлінеді. Бұл бөліну Калуза-Клейн теорияларының өлшемдік қысқартуын ілгерілетуге көмектеседі.
Лей топтары туралы
Ли тобының ерекше жағдайы үшін, бұл Ли тобындағы метрикалық тензор, ресми түрде Картан тензоры немесе Киллинг формасы деп аталады. Лагранжды содан кейін Киллинг формасының кері тартылуы ретінде жазуға болады. Киллинг формасы сәйкес Ли алгебрасынан алынған екі матрица бойынша із ретінде жазылатынын ескеріңіз; демек, Лагранжды ізді қамтитын формада да жазуға болады. Сәл өзгерістер енгізсе, оны Maurer-Cartan формасының кері тартылуы ретінде де жазуға болады.
Ұзартулар
Модельді әр түрлі жолдармен кеңейтуге болады. Жоғарыда аталған Skyrme моделінен басқа, ол төртінші дәрежелі мүшелерді енгізеді, модель Wess–Zumino–Witten моделін алу үшін бұралу мүшесімен толықтырылуы мүмкін. Тағы бір мүмкіндік супергравитация модельдерінде жиі кездеседі. Мұнда Maurer–Cartan формасы "таза өлшегіш" сияқты көрінеді. Жоғарыда симметриялық кеңістіктерді құруда, басқа проекцияны да қарастыруға болады, онда, бұрынғыдай, симметриялық кеңістік бөлінуге сәйкес келеді. Бұл қосымша мүшені талшықтық бундельдегі байланыс ретінде қарастыруға болады (ол өлшегіш өріс ретінде өзгереді). Оған өз динамикасын беруге болады, мысалы:
where, as before, the symmetric space corresponded to the split This extra term can be interpreted as a connection on the fiber bundle (it transforms as a gauge field). It is what is "left over" from the connection on It can be endowed with its own dynamics, by writing
with Note that the differential here is just "d", and not a covariant derivative; this is not the Yang–Mills stress energy tensor. This term is not gauge invariant by itself; it must be taken together with the part of the connection that embeds into , so that taken together, the , now with the connection as a part of it, together with this term, forms a complete gauge invariant Lagrangian (which does have the Yang–Mills terms in it, when expanded out).
мұнда дифференциал тек "d" болып табылады, ковариантты туынды емес; бұл Янг–Миллс кернеу-энергия тензоры емес. Бұл мүше өзіндік өлшегіш инвариантты емес; оны қосылысының бір бөлігімен бірге қарастыру керек, сондықтан, қосылысының бір бөлігі ретінде енгізілгенде, бұл мүшемен бірге толық өлшегіш инвариантты Лагранжды құрайды (ол кеңейтілгенде Янг–Миллс мүшелерін қамтиды).
where, as before, the symmetric space corresponded to the split This extra term can be interpreted as a connection on the fiber bundle (it transforms as a gauge field). It is what is "left over" from the connection on It can be endowed with its own dynamics, by writing
with Note that the differential here is just "d", and not a covariant derivative; this is not the Yang–Mills stress energy tensor. This term is not gauge invariant by itself; it must be taken together with the part of the connection that embeds into , so that taken together, the , now with the connection as a part of it, together with this term, forms a complete gauge invariant Lagrangian (which does have the Yang–Mills terms in it, when expanded out).