Введение
Теория поля точечной частицы, движущейся на фиксированном многообразии. В физике сигма-модель — это теория поля, описывающая поле как точечную частицу, ограниченную движением на фиксированном многообразии. Это многообразие может быть любым римановым многообразием, хотя чаще всего рассматриваются группы Ли или симметричные пространства. Модель может быть как квантизована, так и не квантизована. Примером неквантизованной версии является модель Скайрма; она не подлежит квантованию из-за нелинейностей степени выше 4. В общем случае, сигма-модели допускают (классические) топологические солитонные решения, например, скайрмион для модели Скайрма. При связи сигма-поля с калибровочным полем, результирующая модель описывается теорией Гинзбурга — Ландау. Данная статья посвящена преимущественно классической теории поля сигма-модели; соответствующая квантованная теория представлена в статье под названием «нелинейная сигма-модель».
In physics, a sigma model is a field theory that describes the field as a point particle confined to move on a fixed manifold. This manifold can be taken to be any Riemannian manifold, although it is most commonly taken to be either a Lie group or a symmetric space. The model may or may not be quantized. An example of the non quantized version is the Skyrme model; it cannot be quantized due to non linearities of power greater than 4. In general, sigma models admit (classical) topological soliton solutions, for example, the Skyrmion for the Skyrme model. When the sigma field is coupled to a gauge field, the resulting model is described by Ginzburg–Landau theory. This article is primarily devoted to the classical field theory of the sigma model; the corresponding quantized theory is presented in the article titled "non linear sigma model".
Обзор
Название имеет корни в физике частиц, где сигма-модель описывает взаимодействие пионов. К сожалению, "сигма-мезон" не описывается сигма-моделью, а является лишь её компонентом. Сигма-модель была введена; название σ-модели происходит от поля в их модели, соответствующего безспиновому мезону, называемому σ, скалярному мезону, введенному ранее Джулианом Швингером. Модель служила доминирующим прототипом спонтанного нарушения симметрии O(4) до O(3): три нарушенных осевых генератора являются простейшим проявлением нарушения хиральной симметрии, а сохранившийся неразрушенный O(3) представляет собой изоспин. В стандартных постановках физики частиц поле обычно рассматривается как SU(N) или векторное подпространство частного от деления произведения левых и правых хиральных полей. В теориях конденсированного состояния поле рассматривается как O(N). Для группы вращений O(3) сигма-модель описывает изотропный ферромагнетик; в более общем случае модель O(N) проявляется в квантовом эффекте Холла, сверхтекучем гелии-3 и спиновых цепях. В супергравитационных моделях поле рассматривается как симметричное пространство. Поскольку симметричные пространства определяются через их инволюцию, их тангенциальное пространство естественным образом расщепляется на подпространства четной и нечетной паритета. Это расщепление способствует понижению размерности в теориях Калуцы — Клейна. В своей простейшей форме сигма-модель может рассматриваться как чисто кинетическая энергия точечной частицы; как поле, это просто энергия Дирихле в евклидовом пространстве. В двух пространственных измерениях модель O(3) полностью интегрируема.
Определение
Плотность Лагранжа сигма-модели может быть записана различными способами, каждый из которых подходит для конкретного типа применения. Наиболее простое и общее определение записывает Лагранжиан как метрический след от обратного отображения метрического тензора на римановом многообразии. Для поля, определенного на пространстве-времени , это можно записать как
where the is the metric tensor on the field space , and the are the derivatives on the underlying spacetime manifold. This expression can be unpacked a bit. The field space can be chosen to be any Riemannian manifold. Historically, this is the "sigma" of the sigma model; the historically appropriate symbol is avoided here to prevent clashes with many other common usages of in geometry. Riemannian manifolds always come with a metric tensor Given an atlas of charts on , the field space can always be locally trivialized, in that given in the atlas, one may write a map giving explicit local coordinates on that patch. The metric tensor on that patch is a matrix having components
The base manifold must be a differentiable manifold; by convention, it is either Minkowski space in particle physics applications, flat two dimensional Euclidean space for condensed matter applications, or a Riemann surface, the worldsheet in string theory. The is just the plain old covariant derivative on the base spacetime manifold When is flat, is just the ordinary gradient of a scalar function (as is a scalar field, from the point of view of itself.) In more precise language, is a section of the jet bundle of .
где – метрический тензор на пространстве полей, а – производные на базовом пространственно-временном многообразии. Это выражение можно развернуть. Пространство полей можно выбрать как любое риманово многообразие. Исторически это и есть "сигма" в сигма-модели; исторически уместный символ здесь избегается, чтобы избежать конфликтов с многочисленными другими распространенными применениями в геометрии. Римановы многообразия всегда снабжены метрическим тензором . При наличии атласа карт на , пространство полей всегда может быть локально тривиализовано, то есть, для точки в атласе можно записать отображение , задающее явные локальные координаты на этом участке. Метрический тензор на этом участке представляет собой матрицу с компонентами . Базовое многообразие должно быть дифференцируемым многообразием; по соглашению, это либо пространство Минковского в приложениях физики частиц, плоская двумерная евклидова плоскость для приложений в физике конденсированного состояния, либо поверхность Римана, мировая плоскость в теории струн. – это просто обычная ковариантная производная на базовом пространственно-временном многообразии . Когда плоское, – это просто обычный градиент скалярной функции (поскольку является скалярным полем, с точки зрения самого себя). В более строгом смысле, – это сечение струйного расслоения .
where the is the metric tensor on the field space , and the are the derivatives on the underlying spacetime manifold. This expression can be unpacked a bit. The field space can be chosen to be any Riemannian manifold. Historically, this is the "sigma" of the sigma model; the historically appropriate symbol is avoided here to prevent clashes with many other common usages of in geometry. Riemannian manifolds always come with a metric tensor Given an atlas of charts on , the field space can always be locally trivialized, in that given in the atlas, one may write a map giving explicit local coordinates on that patch. The metric tensor on that patch is a matrix having components
The base manifold must be a differentiable manifold; by convention, it is either Minkowski space in particle physics applications, flat two dimensional Euclidean space for condensed matter applications, or a Riemann surface, the worldsheet in string theory. The is just the plain old covariant derivative on the base spacetime manifold When is flat, is just the ordinary gradient of a scalar function (as is a scalar field, from the point of view of itself.) In more precise language, is a section of the jet bundle of .
Пример: О(Н) нелинейная сигма-модель
Принимая дельту Кронекера, то есть скалярное произведение в евклидовом пространстве, получаем нелинейную сигма-модель. А именно, обозначим единичный вектор в , так что , где – обычное евклидово скалярное произведение. Тогда сфера, изометрии которой образуют группу вращений, имеет лагранжиан, который можно записать как.
For , this is the continuum limit of the isotropic ferromagnet on a lattice, i. e. of the classical Heisenberg model. For , this is the continuum limit of the classical XY model. See also the n vector model and the Potts model for reviews of the lattice model equivalents. The continuum limit is taken by writing
as the finite difference on neighboring lattice locations Then in the limit , and after dropping the constant terms (the "bulk magnetization").
Для это предел континуума изотропного ферромагнетика на решетке, то есть классической модели Гейзенберга. Для это предел континуума классической модели XY. См. также n-векторную модель и модель Поттса для обзоров решеточных моделей-аналогов. Предел континуума достигается, если записать как конечную разность в соседних точках решетки. Тогда в пределе , и после отбрасывания постоянных членов ("магнитной намагниченности").
For , this is the continuum limit of the isotropic ferromagnet on a lattice, i. e. of the classical Heisenberg model. For , this is the continuum limit of the classical XY model. See also the n vector model and the Potts model for reviews of the lattice model equivalents. The continuum limit is taken by writing
as the finite difference on neighboring lattice locations Then in the limit , and after dropping the constant terms (the "bulk magnetization").
Мотивации и основные интерпретации
Несколько интерпретационных и основополагающих замечаний можно сделать относительно классической (не квантованной) сигма-модели. Первое из них состоит в том, что классическую сигма-модель можно интерпретировать как модель не взаимодействующих квантовых частиц. Второе касается интерпретации энергии.
Результаты по различным пространствам
Пространство часто рассматривается как группа Ли, обычно SU(N) в стандартных моделях физики частиц, O(N) в теориях конденсированного состояния, или как симметричное пространство в моделях супергравитации. Поскольку симметричные пространства определяются через свою инволюцию, их касательное пространство (то есть пространство, в котором определена ) естественным образом расщепляется на подпространства четной и нечетной четности. Это расщепление способствует процедуре понижения размерности в теориях Калуцы — Клейна.
О группах Ли
Для особого случая группы Ли, это метрический тензор на группе Ли, формально называемый тензором Картана или формой Киллинга. Тогда лагранжиан можно записать как обратное отображение формы Киллинга. Следует отметить, что форму Киллинга можно представить как след двух матриц из соответствующей алгебры Ли; таким образом, лагранжиан также можно записать в форме, включающей след. С незначительными преобразованиями, его также можно записать как обратное отображение формы Маурера — Картана.
Расширения
Модель может быть расширена различными способами. Помимо вышеупомянутой модели Skyrme, которая вводит квартичные члены, модель может быть дополнена членом кручения, что приводит к модели Wess–Zumino–Witten. Другая возможность часто встречается в моделях супергравитации. Здесь можно заметить, что форма Маурера – Картана выглядит как "чистая калибровка". В построении, описанном выше для симметричных пространств, можно также рассмотреть другую проекцию, где, как и прежде, симметричное пространство соответствует расщеплению. Этот дополнительный член можно интерпретировать как связность на расслоении (он преобразуется как калибровочное поле). Это то, что "остается" от связности на. Ему можно придать собственную динамику, записав
where, as before, the symmetric space corresponded to the split This extra term can be interpreted as a connection on the fiber bundle (it transforms as a gauge field). It is what is "left over" from the connection on It can be endowed with its own dynamics, by writing
with Note that the differential here is just "d", and not a covariant derivative; this is not the Yang–Mills stress energy tensor. This term is not gauge invariant by itself; it must be taken together with the part of the connection that embeds into , so that taken together, the , now with the connection as a part of it, together with this term, forms a complete gauge invariant Lagrangian (which does have the Yang–Mills terms in it, when expanded out).
Обратите внимание, что дифференциал здесь – просто "d", а не ковариантная производная; это не тензор энергии-импульса Янга–Миллса. Этот член сам по себе не является калибровочно-инвариантным; его необходимо рассматривать вместе с частью связности, которая вкладывается в , так что вместе взятые , теперь с включенной связностью, вместе с этим членом образуют полный калибровочно-инвариантный лагранжиан (который при разложении содержит члены Янга–Миллса).
where, as before, the symmetric space corresponded to the split This extra term can be interpreted as a connection on the fiber bundle (it transforms as a gauge field). It is what is "left over" from the connection on It can be endowed with its own dynamics, by writing
with Note that the differential here is just "d", and not a covariant derivative; this is not the Yang–Mills stress energy tensor. This term is not gauge invariant by itself; it must be taken together with the part of the connection that embeds into , so that taken together, the , now with the connection as a part of it, together with this term, forms a complete gauge invariant Lagrangian (which does have the Yang–Mills terms in it, when expanded out).