Кіріспе
Жалғаспалы операторлық мәселелерді шешу әдісі (дифференциалдық теңдеулер сияқты)
Математикада, сандық талдау саласында, Галеркин әдістері совет математигі Борис Галеркиннің есімімен аталады. Олар үздіксіз операторлық мәселені, мысалы, дифференциалдық теңдеуді, көбінесе әлсіз формулировкада, негіз функцияларының шекті жиынтығы арқылы анықталатын сызықтық шектеулерді қолдану арқылы дискретті мәселеге айналдырады. Галеркин әдісіне сілтеме жасағанда, көбінесе оның атымен қатар, әдеттегі болжамдар мен жуықтау әдістері де беріледі:
Риц–Галеркин әдісі (Вальтер Рицтің атымен) әдетте әлсіз формулировкада симметриялық және оң анықталған білінейрлік нысанды қабылдайды, онда физикалық жүйеге арналған дифференциалдық теңдеу жүйе энергиясын көрсететін квадраттық функцияны азайту арқылы құрастырылуы мүмкін, ал жуықтау шешімі берілген негіз функцияларының сызықтық комбинациясы болып табылады. Бубнов–Галеркин әдісі (Иван Бубновтың атымен) білінейрлік нысанның симметриялық болуын талап етпейді және энергияны азайтуды шешімді жуықтау үшін қолданылатын бірдей негіз функцияларымен анықталатын ортогоналдық шектеулермен алмастырады. Дифференциалдық теңдеудің операторлық формулировкасында Бубнов–Галеркин әдісін операторға ортогоналды проекцияны қолдану ретінде қарастыруға болады. Петров–Галеркин әдісі (Георгий И. Петровтың атымен) шешімді жуықтау үшін қолданылатын негіз функцияларынан өзгеше ортогоналдық шектеулер үшін негіз функцияларын (сынақ негіз функциялары деп аталады) пайдалануға мүмкіндік береді. Петров–Галеркин әдісін Бубнов–Галеркин әдісінің кеңейтілген түрі ретінде қарастыруға болады, дифференциалдық теңдеудің операторлық формулировкасында міндетті түрде ортогоналды емес проекцияны қолдану. Галеркин әдістерінің мысалдары:
салмақталған қалдықтардың Галеркин әдісі, шекті элементтер әдісінде жалпы беріктік матрицасын есептеудің ең көп таралған әдісі,
интегралдық теңдеулерді шешудің шекаралық элементтер әдісі,
Крылов субкеңістік әдістері.
Ritz–Galerkin method (after Walther Ritz) typically assumes symmetric and positive definite bilinear form in the weak formulation, where the differential equation for a physical system can be formulated via minimization of a quadratic function representing the system energy and the approximate solution is a linear combination of the given set of the basis functions. Bubnov–Galerkin method (after Ivan Bubnov) does not require the bilinear form to be symmetric and substitutes the energy minimization with orthogonality constraints determined by the same basis functions that are used to approximate the solution. In an operator formulation of the differential equation, Bubnov–Galerkin method can be viewed as applying an orthogonal projection to the operator. Petrov–Galerkin method (after Georgii I. Petrov) allows using basis functions for orthogonality constraints (called test basis functions) that are different from the basis functions used to approximate the solution. Petrov–Galerkin method can be viewed as an extension of Bubnov–Galerkin method, applying a projection that is not necessarily orthogonal in the operator formulation of the differential equation. Examples of Galerkin methods are:
the Galerkin method of weighted residuals, the most common method of calculating the global stiffness matrix in the finite element method,
the boundary element method for solving integral equations,
Krylov subspace methods.
Галеркин ортогоналдығы
Галеркин әдісінің басты қасиеті – қате таңдалған ішкі кеңістіктерге ортогоналды болады. Сондықтан біз бастапқы теңдеуде сынақ вектор ретінде пайдалана аламыз. Екеуін қысқартсақ, қатеге қатысты Галеркин ортогоналдығы қатынасын аламыз, яғни бастапқы мәселенің шешімі ( ) мен Галеркин теңдеуінің шешімі ( ) арасындағы айырмашылықты.
Матрицаның симметриясы
Матрицалық элементтердің анықтамасы бойынша, Галеркин теңдеуінің матрицасы симметриялық болады, егер және тек қана билинеарлық форма симметриялық болса.
Галеркин теңдеуінің дұрыс орналасуы
Сол себепті, билинейлік форманың шектелгендігі және эллиптикалық қасиеттері қолданылады. Осылайша, Галеркин есебінің дұрыс қойылғандығы бастапқы есептің дұрыс қойылғандығынан тікелей туындайды.
Кезекті құрылымдар үшін Гальеркин әдісі
И. Элишаков, М. Амато, А. Марзани, П. А. Арван және Ж. Н. Редди сатылы құрылымдарға Гальеркин әдісін қолдануды зерттеді. Олар бірлік сатылы функция, Дирак дельта функциясы және дублет функциясы сияқты жалпыланған функциялардың дәл нәтижелер алу үшін қажет екенін көрсетті.
studied the application of the Galerkin method to stepped structures. They showed that the generalized function, namely unit step function, Dirac’s delta function, and the doublet function are needed for obtaining accurate results.
Тарих
Бұл әдіс әдетте Борис Гальеркинге жатқызылады. Бұл әдісті Хенки және Дункан сияқтылар батыс оқырмандарына түсіндірді. Оның жуысуы Михлин мен Лейпхолц тарапынан зерттелді. Оның Фурье әдісімен сәйкестігі Elishakoff және авторлар тобы көрсетті. Консервативті есептер үшін Риц әдісімен оның эквиваленттігі Сингер көрсетті. Гандер мен Ваннер Риц және Гальеркин әдістерінің қазіргі заманғы шекті элементтер әдісіне қалай алып келгенін көрсетті. Репин әдістің жүз жылдық даму тарихын талқылады. Элишаков, Каплунов және Каплунов Гальеркин әдісін Риц әзірлемегенін көрсетті, бұл Тимошенконың мәлімдемесіне қайшы.