Введение

Метод решения задач с непрерывными операторами (таких как дифференциальные уравнения)

В математике, в области численного анализа, методы Галеркина названы в честь советского математика Бориса Галеркина. Они преобразуют задачу с непрерывным оператором, такую как дифференциальное уравнение, обычно в слабой формулировке, в дискретную задачу, применяя линейные ограничения, определяемые конечными наборами базисных функций. Часто при упоминании метода Галеркина также указывается его название вместе с типичными предположениями и методами аппроксимации: метод Рица — Галеркина (в честь Вальтера Рица) обычно предполагает симметричную и положительно определенную двулинейную форму в слабой формулировке, где дифференциальное уравнение для физической системы может быть сформулировано через минимизацию квадратичной функции, представляющей энергию системы, а приближенное решение является линейной комбинацией заданного набора базисных функций. Метод Бубнова — Галеркина (в честь Ивана Бубнова) не требует симметричности двулинейной формы и заменяет минимизацию энергии ограничениями ортогональности, определяемыми теми же базисными функциями, которые используются для аппроксимации решения. В операторной формулировке дифференциального уравнения метод Бубнова — Галеркина можно рассматривать как применение ортогональной проекции к оператору. Метод Петрова — Галеркина (в честь Георгия И. Петрова) позволяет использовать базисные функции для ограничений ортогональности (называемые тестовыми базисными функциями), отличные от базисных функций, используемых для аппроксимации решения. Метод Петрова — Галеркина можно рассматривать как расширение метода Бубнова — Галеркина, применяя проекцию, которая не обязательно является ортогональной в операторной формулировке дифференциального уравнения. Примерами методов Галеркина являются: метод Галеркина взвешенных невязок, наиболее распространенный метод расчета матрицы глобальной жесткости в методе конечных элементов, метод граничных элементов для решения интегральных уравнений и методы подпространства Крылова.

Ортогональность Галеркина

Ключевое свойство метода Галеркина заключается в том, что ошибка ортогональна выбранным подпространствам. Поскольку , мы можем использовать в качестве тестовой функции в исходном уравнении. Вычитая эти два уравнения, мы получаем соотношение ортогональности Галеркина для ошибки, которое представляет собой разность между решением исходной задачи, и решением уравнения Галеркина, .

Симетрия матрицы

В соответствии с определением элементов матрицы, матрица уравнения Галеркина симметрична тогда и только тогда, когда двулинейная форма симметрична.

Правильное положение уравнения Гальеркина

Так как , ограниченность и эллиптичность билинейной формы применимы к , то корректность задачи Галеркина фактически вытекает из корректности исходной задачи.

Метод Гальеркина для ступенчатых конструкций

И. Элишаков, М. Амато, А. Марзани, П. А. Арван и Дж. Н. Редди изучали применение метода Галеркина к ступенчатым конструкциям. Они показали, что для получения точных результатов требуются обобщенные функции, такие как функция единичного скачка, дельта-функция Дирака и функция двойного слоя.

История

Этот подход обычно приписывают Борису Галеркину. Метод был представлен западным читателям, в частности, Хенки и Дунканом. Сходимость метода изучалась Михлиным и Лейпхольцем. Совпадение метода с методом Фурье было продемонстрировано Элишакоффом и другими. Эквивалентность метода Галеркина методу Рица для консервативных задач была показана Сингером. Гандер и Ваннер показали, как методы Рица и Галеркина привели к современному методу конечных элементов. Столетняя история развития метода была рассмотрена Репиным. Элишаков, Каплюнов и Каплюнов показали, что метод Галеркина был разработан не Рицем, вопреки утверждениям Тимошенко.