Кіріспе
Математикалық шексіздік туралы
Математикалық логикада шексіз жиынтар теориясын алғаш Георг Кантор жасады. Бұл жұмыс классикалық жиынтар теориясының қалыпты бір бөлігіне айналғанымен, математиктер мен философтар тарапынан бірнеше аспектіде сынға ұшырады. Кантор теоремасы табиғи сандар жиынының шексіз қуатынан артық қуаты бар жиындар бар екенін көрсетеді. Кантордың осы теоремаға берген дәлелі бір шағын өзгеріспен ұсынылған. Оны кейін берген анықтамасын пайдаланып жақсартуға болады. Соның нәтижесінде алынған дәлел жиынтар теориясының бес аксиомасын ғана қолданады. Кантордың жиынтар теориясы бастапқыда даулы болды, бірақ кейіннен көпшілік тарапынан қабылданды. Көптеген қазіргі заманғы математика оқулықтары математикалық шексіздік туралы Кантордың көзқарастарын жасырын түрде қолданады. Мысалы, түзу сызық әдетте оның нүктелерінің шексіз жиынтығы ретінде көрсетіледі және нақты сандардың рационалды сандардан көп екендігі туралы кеңінен оқытылады (континуумның қуатын қараңыз).
Кантордың аргументі
Кантор шексіз жиындардың әртүрлі кардиналдылықтары болуы мүмкін екенін алғаш рет 1874 жылы дәлелдеді. Бұл дәлел табиғи сандар жиыны мен нақты сандар жиынының кардиналдылықтарының әртүрлі екенін көрсетеді. Ол, шектелген, өсуімен келетін нақты сандар тізбегінің лимиті болатынын көрсететін теореманы қолданады, оны Кантордың немесе Рихард Дедекиндтің иррационал сандарды құрастыру арқылы дәлелдеуге болады. Леопольд Кронекер бұл құрастыруларды қабылдамағандықтан, Кантор жаңа дәлелді жасауға тырысты. 1891 жылы ол «рационалды емес сандарды қарастыруға қатысы жоқ, әлдеқайда қарапайым дәлелді» жариялады. Оның жаңа дәлелі диагональдық аргументін пайдалана отырып, табиғи сандар жиынынан көп элементтері бар шексіз жиынның бар екенін көрсетеді. Бұл үлкен жиын (x1, x2, x3, ...) элементтерінен тұрады, мұндағы әр xn – m немесе w. Бұл элементтердің әрқайсысы N жиынының кіші жиынына сәйкес келеді, атап айтқанда, (x1, x2, x3, ...) элементі {n ∈ N: xn = w} кіші жиынына сәйкес келеді. Сондықтан Кантордың аргументі N жиынының барлық кіші жиындары жиыны N-ден үлкен кардиналдылыққа ие екенін көрсетеді. N жиынының барлық кіші жиындары жиыны P(N) арқылы белгіленеді, N жиынының қуаты жиыны. Кантор өзінің аргументін кез келген A жиынына және A-дан {0, 1} жиынына барлық функциялардан тұратын жиынға жалпылады. Бұл функциялардың әрқайсысы A жиынының кіші жиынына сәйкес келеді, сондықтан оның жалпыланған аргументі теореманы көрсетеді: P(A) қуаты жиынының A-дан үлкен кардиналдығы бар. Бұл Кантор теоремасы деп аталады. Төмендегі аргумент – Кантор аргументінің қазіргі заманғы нұсқасы, ол қуат жиындарын пайдаланады (оның бастапқы аргументі үшін Кантордың диагональдық аргументін қараңыз). Қазіргі заманғы аргументтерді ұсыну арқылы аксиоматикалық жиын теориясының қандай болжамдары қолданылғанын көруге болады. Аргументтің бірінші бөлігі N және P(N) әртүрлі кардиналдылыққа ие екенін дәлелдейді: кем дегенде бір шексіз жиын бар. Бұл болжам (Кантор ресми түрде нақтыламаған) формальды жиын теориясында шексіздік аксиомасымен тұтқындалады. Бұл аксиома барлық табиғи сандар жиыны N бар екенін білдіреді. P(N), N жиынының барлық кіші жиындары жиыны бар. Формальды жиын теориясында бұл қуат жиыны аксиомасымен түсіндіріледі, ол әрбір жиын үшін оның барлық кіші жиындары жиыны бар екенін айтады. «Бірдей санға ие болу» немесе «бірдей кардиналдылыққа ие болу» ұғымын бір-бірге сәйкестік идеясымен түсіндіруге болады. Бұл (таза анықтамалық) болжам кейде Юм принципі деп аталады. Фреге айтқандай, «егер официант үстелге табақтар сияқты дәл сол санда пышақ қоюға сенімді болғысы келсе, оған олардың бірін де санаудың қажеті жоқ; ол тек әрбір табақтың оң жағына бірден пышақ қоюы керек, үстелдегі әрбір пышақ бірден табақтың оң жағына орналасады. Осылайша табақтар мен пышақтар бір-бірімен байланысты болады». Мұндай өзара байланысты жиындар тең сандық деп аталады, ал өзара байланысты бір-бірге сәйкестік деп атайды. Жиынды оның қуат жиынымен бір-бірге сәйкестікке жатқызуға болмайды. Бұл N және P(N) әртүрлі кардиналдылыққа ие екенін білдіреді. Ол жиын теориясының өте аз болжамдарына байланысты және Джон П. Мейберри айтқандай, «нәтижелерге жүкті» «жеңіл және әдемі аргумент». Бұл аргумент: жиын және оның қуаты жиыны болсын. Бұл теорема арасында бір-бірге сәйкестік жоқ екенін көрсетеді, себебі мұндай сәйкестік толық болуы керек. Теореманы дәлелдеу: Диагональды кіші жиынды анықтаңыз, себебі оны барлық үшін дәлелдеу бұл дұрыс емес дегенді білдіреді. Содан кейін Кантор осыдан және әртүрлі кардиналдылыққа ие болғандықтан, ол одан үлкен кардиналдылыққа ие деген қорытындыға келеді. Бұл қорытынды оның 1878 жылғы анықтамасын қолданады: Егер A мен B-нің кардиналдылықтары әртүрлі болса, онда B А жиынының кіші жиынымен тең (бұл жағдайда B А-дан аз кардиналдылыққа ие) немесе А В жиынының кіші жиынымен тең (бұл жағдайда B А-дан үлкен кардиналдылыққа ие). Бұл анықтама A және B бір-бірінің кіші жиынымен тең болатын жағдайды алып тастайды, яғни A – B жиынының кіші жиынымен тең, ал B – A жиынының кіші жиынымен тең. Кантор кардиналдылықтар сызықтық реттелген деп болжағандықтан, бұл жағдай орын ала алмайды. 1878 жылғы анықтамасын қолданғаннан кейін, Кантор 1883 жылғы мақалада кардиналдылықтардың жақсы реттелгенін дәлелдегенін, бұл олардың сызықтық реттелгенін білдіреді. Бұл дәлелдеуде оның «әрбір жиын жақсы реттелген» деген принципті қолданды, оны «ойдың заңы» деп атады. Жақсы реттелу принципі таңдау аксиомасына эквивалентті. Шамамен 1895 жылы Кантор жақсы реттелу принципін теорема ретінде қарастыра бастады және оны дәлелдеуге тырысты. 1895 жылы Кантор «үлкен» анықтамасын да берді, ол бұл ұғымды оның жақсы реттелу принципінсіз дұрыс анықтайды. Кантордың жаңа анықтамасын қолдану арқылы P(N) жиынының N жиынынан үлкен кардиналдылығы бар екенін көрсететін қазіргі заманғы аргументті оның бастапқы аргументіне қарағанда әлсіз болжамдарды қолдана отырып аяқтауға болады: «үлкен кардиналдылыққа ие болу» ұғымын Кантордың 1895 жылғы анықтамасымен түсіндіруге болады: B жиыны A жиынынан үлкен кардиналдылыққа ие, егер (1) A жиыны B жиынының кіші жиынымен тең болса және (2) B жиыны A жиынының кіші жиынымен тең болмаса. Математик Соломон Феферман Кантордың теорияларын «күнделікті математикаға қатысы жоқ» деп атады. Кантордан бұрын шексіздік ұғымы көбінесе математиктерге шекті әлем туралы ойлауға көмектесетін пайдалы абстракция ретінде қарастырылды; мысалы, есептеуде шексіз лимит жағдайларын қолдану. Шексіздік тек потенциалдық қана болуы мүмкін деп саналды, нақты емес. «Нақты шексіздік жоқ. Біз шексіз деп атаған нәрсе – жаңа нысандарды жасаудың соңсыз мүмкіндігі, қаншасы болса да». Карл Фридрих Гаусс бұл тақырыптағы өз пікірін былай қорытындылады: «Шексіздік – шектер туралы сөйлесуге көмектесетін сөз тіркесі ғана. Аяқталған шексіздік математикаға жатпайды». Басқаша айтқанда, біз шексіздікке тек лимиттер арқылы қол жеткізе аламыз, сондықтан шексіз жиындарды сондай-ақ шекті жиындар сияқты бар екендікке ие деп қарастырмауымыз керек. Кантордың идеялары ақыры кеңінен қабылданды, оларды Дэвид Гильберт және басқалар күшті қолдады. Гильберт болжады: «Ешкім Кантор біз үшін жасаған жұмақтан бізді шығармайды». Оған Витгенштейн: «Егер бір адам оны математиктер жұмағы деп қараса, екінші адам оны әзіл деп қарауы мүмкін бе?» деп жауап берді. Кантордың шексіздік туралы идеяларын қабылдамау конструктивтік және интуиционизм сияқты математика мектептерінің дамуына әсер етті. Витгенштейн математикалық формализмге толығымен қарсы болған жоқ, бірақ Кантор дәлелі нені білдіретіні туралы финистик көзқарасқа ие болды. Философ математикалық заңдардың интенттік табиғатын жиындардың, тізбектердің, символдардың және т.б. экстенсивтік табиғатымен шатастырудан туындаған шексіздікке сенімділіктің себебі деп санады. Оның пікірінше, символдар тізбегі шекті. Витгенштейннің сөзімен айтқанда: «Сызық нүктелерден тұрмайды, ол нүктелердің бағыну заңы, немесе нүктелерді құруға болатын заң». Ол сондай-ақ диагональдық аргументті «алдау» деп сипаттады және оның дәлелдеуге ниеттенгенін дәлелдемейді.
Cantor generalized his argument to an arbitrary set A and the set consisting of all functions from A to {0, 1}. Each of these functions corresponds to a subset of A, so his generalized argument implies the theorem: The power set P(A) has greater cardinality than A. This is known as Cantor's theorem. The argument below is a modern version of Cantor's argument that uses power sets (for his original argument, see Cantor's diagonal argument). By presenting a modern argument, it is possible to see which assumptions of axiomatic set theory are used. The first part of the argument proves that N and P(N) have different cardinalities:
There exists at least one infinite set. This assumption (not formally specified by Cantor) is captured in formal set theory by the axiom of infinity. This axiom implies that N, the set of all natural numbers, exists. P(N), the set of all subsets of N, exists. In formal set theory, this is implied by the power set axiom, which says that for every set there is a set of all of its subsets. The concept of "having the same number" or "having the same cardinality" can be captured by the idea of one to one correspondence. This (purely definitional) assumption is sometimes known as Hume's principle. As Frege said, "If a waiter wishes to be certain of laying exactly as many knives on a table as plates, he has no need to count either of them; all he has to do is to lay immediately to the right of every plate a knife, taking care that every knife on the table lies immediately to the right of a plate. Plates and knives are thus correlated one to one." Sets in such a correlation are called equinumerous, and the correlation is called a one to one correspondence. A set cannot be put into one to one correspondence with its power set. This implies that N and P(N) have different cardinalities. It depends on very few assumptions of set theory, and, as John P. Mayberry puts it, is a "simple and beautiful argument" that is "pregnant with consequences". Here is the argument:
Let be a set and be its power set. The following theorem will be proved: If is a function from to then it is not onto. This theorem implies that there is no one to one correspondence between and since such a correspondence must be onto. Proof of theorem: Define the diagonal subset Since proving that for all will imply that is not onto. Let Then which implies So if then and if then Since one of these sets contains and the other does not, Therefore, is not in the image of , so is not onto. Next Cantor shows that is equinumerous with a subset of From this and the fact that and have different cardinalities, he concludes that has greater cardinality than This conclusion uses his 1878 definition: If A and B have different cardinalities, then either B is equinumerous with a subset of A (in this case, B has less cardinality than A) or A is equinumerous with a subset of B (in this case, B has greater cardinality than A). This definition leaves out the case where A and B are equinumerous with a subset of the other set—that is, A is equinumerous with a subset of B and B is equinumerous with a subset of A. Because Cantor implicitly assumed that cardinalities are linearly ordered, this case cannot occur. After using his 1878 definition, Cantor stated that in an 1883 article he proved that cardinalities are well ordered, which implies they are linearly ordered. This proof used his well ordering principle "every set can be well ordered", which he called a "law of thought". The well ordering principle is equivalent to the axiom of choice. Around 1895, Cantor began to regard the well ordering principle as a theorem and attempted to prove it. In 1895, Cantor also gave a new definition of "greater than" that correctly defines this concept without the aid of his well ordering principle. By using Cantor's new definition, the modern argument that P(N) has greater cardinality than N can be completed using weaker assumptions than his original argument:
The concept of "having greater cardinality" can be captured by Cantor's 1895 definition: B has greater cardinality than A if (1) A is equinumerous with a subset of B, and (2) B is not equinumerous with a subset of A. Mathematician Solomon Feferman has referred to Cantor's theories as “simply not relevant to everyday mathematics.”
Before Cantor, the notion of infinity was often taken as a useful abstraction which helped mathematicians reason about the finite world; for example the use of infinite limit cases in calculus. The infinite was deemed to have at most a potential existence, rather than an actual existence. "Actual infinity does not exist. What we call infinite is only the endless possibility of creating new objects no matter how many exist already". Carl Friedrich Gauss's views on the subject can be paraphrased as: "Infinity is nothing more than a figure of speech which helps us talk about limits. The notion of a completed infinity doesn't belong in mathematics." In other words, the only access we have to the infinite is through the notion of limits, and hence, we must not treat infinite sets as if they have an existence exactly comparable to the existence of finite sets. Cantor's ideas ultimately were largely accepted, strongly supported by David Hilbert, amongst others. Hilbert predicted: "No one will drive us from the paradise which Cantor created for us." To which Wittgenstein replied "if one person can see it as a paradise of mathematicians, why should not another see it as a joke?" The rejection of Cantor's infinitary ideas influenced the development of schools of mathematics such as constructivism and intuitionism. Wittgenstein did not object to mathematical formalism wholesale, but had a finitist view on what Cantor's proof meant. The philosopher maintained that belief in infinities arises from confusing the intensional nature of mathematical laws with the extensional nature of sets, sequences, symbols etc. A series of symbols is finite in his view: In Wittgenstein's words: " A curve is not composed of points, it is a law that points
obey, or again, a law according to which points can be constructed." He also described the diagonal argument as "hocus pocus" and not proving what it purports to do.
шексіздік аксиомасына қарсылық
Кантордың шексіз сандар теориясына жиі айтылатын қарсылық – шексіздік аксиомасы (әрине, бұл аксиома, логикалық шындық емес). Мейбери мынаны атап өткен: «Қазіргі математиканы негізге алатын жиын теориялық аксиомалар әртүрлі деңгейде айқын. Олардың бірі – ең маңыздысы, яғни Кантор аксиомасы, шексіздік аксиомасы деп аталатын аксиома, өзін-өзі айқынды дәлелдеуге ие емес».
Тағы бір қарсылық – шексіз жиындарды қолдану, шекті жиындарға аналогия арқылы жеткілікті негізделмегендігі. Герман Вейль былай жазды: «Классикалық логика шекті жиындар мен олардың ішкі жиындарының математикасынан туындады. Бұл шектеулі бастауын ұмытып, кейіннен бұл логиканы барлық математикадан жоғары тұрған нәрсе деп жаңылыстырып, соңында оны негізсіз шексіз жиындар математикасына қолданды. Бұл [Кантордың] жиын теориясының құлауы және бастапқы қатесі».
classical logic was abstracted from the mathematics of finite sets and their subsets Forgetful of this limited origin, one afterwards mistook that logic for something above and prior to all mathematics, and finally applied it, without justification, to the mathematics of infinite sets. This is the Fall and original sin of [Cantor's] set theory "
Финитизмнің қиындығы – математиканың негіздерін финитистік қағидаларға сүйене отырып құру, соның ішінде барлық адам математика деп санайтын нәрселерді (мысалы, нақты анализді) қамту.