Введение

О математической бесконечности

В математической логике теория бесконечных множеств была впервые разработана Георгом Кантором. Хотя эта работа стала общепринятой частью классической теории множеств, она подвергалась критике со стороны математиков и философов по ряду вопросов. Теорема Кантора подразумевает существование множеств, имеющих кардинальность, превышающую бесконечную кардинальность множества натуральных чисел. Доказательство Кантора этой теоремы представлено с одним незначительным изменением. Это доказательство можно улучшить, используя определение, данное им позднее. В результате получается доказательство, использующее лишь пять аксиом теории множеств. Теория множеств Кантора изначально вызывала споры, но впоследствии получила широкое признание. Большинство современных учебников по математике неявно опираются на взгляды Кантора на математическую бесконечность. Например, прямая линия обычно представляется как бесконечное множество её точек, и широко распространено представление о том, что реальных чисел больше, чем рациональных (см. кардинальность континуума).

Аргумент Кантора

Первое доказательство Кантора, что бесконечные множества могут иметь разные кардинальности, было опубликовано в 1874 году. Это доказательство демонстрирует, что множество натуральных чисел и множество действительных чисел имеют разные кардинальности. В нем используется теорема о том, что ограниченная возрастающая последовательность действительных чисел имеет предел, который может быть доказан с помощью построения иррациональных чисел Кантора или Рихарда Дедекинда. Поскольку Леопольд Кронекер не принимал эти построения, Кантор был мотивирован разработать новое доказательство. В 1891 году он опубликовал «намного более простое доказательство, которое не зависит от рассмотрения иррациональных чисел». Его новое доказательство использует диагональный аргумент, чтобы доказать, что существует бесконечное множество с большим количеством элементов (или большей кардинальностью), чем множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, …}. Этот больший набор состоит из элементов (x1, x2, x3, …), где каждый xn — либо m, либо w. Каждый из этих элементов соответствует подмножеству N, а именно, элемент (x1, x2, x3, …) соответствует {n ∈ N: xn = w}. Таким образом, аргумент Кантора подразумевает, что множество всех подмножеств N имеет большую кардинальность, чем N. Множество всех подмножеств N обозначается P(N), как множество степеней N. Кантор обобщил свой аргумент на произвольное множество A и множество, состоящее из всех функций из A в {0, 1}. Каждая из этих функций соответствует подмножеству A, поэтому его обобщенный аргумент подразумевает теорему: множество степеней P(A) имеет большую кардинальность, чем A. Это известно как теорема Кантора. Приведенный ниже аргумент — современная версия аргумента Кантора, использующая множества степеней (для его оригинального аргумента см. диагональный аргумент Кантора). Представляя современный аргумент, можно увидеть, какие предположения аксиоматической теории множеств используются. Первая часть аргумента доказывает, что N и P(N) имеют разные кардинальности: существует по крайней мере одно бесконечное множество. Это предположение (не формально указанное Кантором) зафиксировано в формальной теории множеств аксиомой бесконечности. Эта аксиома подразумевает, что N, множество всех натуральных чисел, существует. P(N), множество всех подмножеств N, существует. В формальной теории множеств это подразумевается аксиомой множеств степеней, которая гласит, что для каждого множества существует множество всех его подмножеств. Понятие «иметь одинаковое число» или «иметь одинаковую кардинальность» можно выразить идеей взаимно однозначного соответствия. Это (чисто определительное) предположение иногда называют принципом Юма. Как сказал Фреге: «Если официант хочет быть уверенным в том, что на столе лежит ровно столько же ножей, сколько тарелок, ему не нужно считать ни то, ни другое; все, что ему нужно сделать, это положить справа от каждой тарелки нож, следя за тем, чтобы каждый нож на столе лежал справа от тарелки. Таким образом, тарелки и ножи сопоставлены друг с другом». Множества в таком соответствии называются равномощными, а соответствие — взаимно однозначным. Множество нельзя сопоставить взаимно однозначно со своим множеством степеней. Это подразумевает, что N и P(N) имеют разные кардинальности. Это зависит от очень небольшого числа предположений теории множеств и, как говорит Джон П. Мэйберри, является «простым и красивым аргументом», который «полон последствий». Вот аргумент: пусть A — множество, а P(A) — его множество степеней. Будет доказана следующая теорема: если f — функция из A в P(A), то она не является сюръективной. Эта теорема подразумевает, что между A и P(A) нет взаимно однозначного соответствия, поскольку такое соответствие должно быть сюръективным. Доказательство теоремы: определим диагональное подмножество D = {x ∈ A: x ∉ f(x)}. Докажем, что для всех x ∈ A, x ∉ f(x) будет означать, что f не является сюръективной. Пусть x ∈ A. Тогда либо x ∈ f(x), либо x ∉ f(x). Если x ∈ f(x), то x ∉ D. Если x ∉ f(x), то x ∈ D. Поскольку одно из этих множеств содержит x, а другое не содержит, D не является образом f, следовательно, f не является сюръективной. Далее Кантор показывает, что A равномощен подмножеству P(A). Из этого и того факта, что A и P(A) имеют разные кардинальности, он заключает, что P(A) имеет большую кардинальность, чем A. Это заключение использует его определение 1878 года: если A и B имеют разные кардинальности, то либо B равномощен подмножеству A (в этом случае B имеет меньшую кардинальность, чем A), либо A равномощен подмножеству B (в этом случае B имеет большую кардинальность, чем A). Это определение исключает случай, когда A и B равномощны подмножеству другого множества, то есть A равномощен подмножеству B, а B равномощен подмножеству A. Поскольку Кантор неявно предполагал, что кардинальности линейно упорядочены, этот случай не может возникнуть. После использования своего определения 1878 года Кантор заявил, что в статье 1883 года он доказал, что кардинальности вполне упорядочены, что подразумевает их линейный порядок. Это доказательство использовало его принцип вполне упорядочения «каждое множество можно вполне упорядочить», который он назвал «законом мышления». Принцип вполне упорядочения эквивалентен аксиоме выбора. Около 1895 года Кантор начал рассматривать принцип вполне упорядочения как теорему и попытался его доказать. В 1895 году Кантор также дал новое определение «больше», которое правильно определяет это понятие без использования его принципа вполне упорядочения. Используя новое определение Кантора, современный аргумент о том, что P(N) имеет большую кардинальность, чем N, можно завершить, используя более слабые предположения, чем его оригинальный аргумент: понятие «иметь большую кардинальность» можно выразить определением Кантора 1895 года: B имеет большую кардинальность, чем A, если (1) A равномощен подмножеству B и (2) B не равномощен подмножеству A. Математик Соломон Феферман назвал теории Кантора «просто неактуальными для повседневной математики». До Кантора понятие бесконечности часто рассматривалось как полезная абстракция, которая помогала математикам рассуждать о конечном мире; например, использование бесконечных предельных случаев в исчислении. Бесконечность считалась имеющей максимум потенциальное существование, а не актуальное. «Актуальная бесконечность не существует. То, что мы называем бесконечным, — это лишь бесконечная возможность создания новых объектов, независимо от того, сколько их уже существует». Взгляды Карла Фридриха Гаусса на эту тему можно перефразировать следующим образом: «Бесконечность — это не что иное, как фигура речи, которая помогает нам говорить о пределах. Понятие завершенной бесконечности не принадлежит математике». Другими словами, наш единственный доступ к бесконечности — через понятие пределов, и поэтому мы не должны относиться к бесконечным множествам так, как будто они существуют точно так же, как и конечные множества. Идеи Кантора в конечном итоге были широко приняты, решительно поддержаны, среди прочих, Давидом Гильбертом. Гильберт предсказал: «Никто не изгонит нас из рая, который Кантор создал для нас». На что Витгенштейн ответил: «если один человек может видеть в этом рай математиков, почему другой не должен видеть в этом шутку?». Отказ от бесконечных идей Кантора повлиял на развитие школ математики, таких как конструктивизм и интуиционизм. Витгенштейн не возражал против математического формализма в целом, но придерживался финитистического взгляда на то, что означает доказательство Кантора. Философ утверждал, что вера в бесконечности возникает из-за путаницы интенсиональной природы математических законов с экстенсиональной природой множеств, последовательностей, символов и т. д. Серия символов, по его мнению, конечна: по словам Витгенштейна: «Кривая не состоит из точек, это закон, которому подчиняются точки, или, опять же, закон, по которому точки могут быть построены». Он также описал диагональный аргумент как «чушь» и не доказывающий то, что он якобы доказывает.

Возражение против аксиомы бесконечности

Общее возражение против теории бесконечного числа Кантора связано с аксиомой бесконечности (которая, действительно, является аксиомой, а не логической истиной). Мэйбери отметил, что "аксиомы теории множеств, лежащие в основе современной математики, в разной степени кажутся самоочевидными. Одна из них – и, пожалуй, самая важная, а именно аксиома Кантора, так называемая аксиома бесконечности, – едва ли может претендовать на самоочевидность".

Другое возражение заключается в том, что использование бесконечных множеств недостаточно обосновано аналогией с конечными множествами. Герман Вейль писал: "Классическая логика была абстрагирована из математики конечных множеств и их подмножеств. Забыв об этом ограниченном происхождении, впоследствии ее стали считать чем-то высшим и предшествующим всей математике и, наконец, необоснованно применять к математике бесконечных множеств. Это – падение и первородный грех теории множеств Кантора".

Сложность финитизма заключается в построении основ математики, опирающихся на финитистские предпосылки, при этом включающих в себя то, что любой разумный человек признает математикой (например, вещественный анализ).