Кіріспе

Кванттық теория 1+1 өлшемде. Грос-Нев (Gross-Neveu, GN) моделі – 1 кеңістіктік және 1 уақыт өлшемінде төрт фермиондық өзара әрекеттесу арқылы өзара әрекеттесетін Дирак фермиондарының кванттық өріс теориясы моделі. Ол 1974 жылы Дэвид Гросс пен Андре Неву күшті өзара әрекеттесу теориясы, кванттық хромодинамиканың (QCD) қарапайым моделі ретінде ұсынды. GN теориясы QCD-нің бірнеше ерекшеліктерін бөліседі: GN теориясы асимптотикалық түрде еркін, яғни күшті байланыс кезінде өзара әрекеттесу күші әлсірейді және байланыс күшінің тиісті функциясы теріс болады, теорияда хиральдық симметрияны бұзумен динамикалық масса туындату механизмі бар, ал көптеген дәмдер саны шегінде GN теориясы QCD-де t'Hooft-тың үлкен шегі сияқты мінез-құлық көрсетеді. Ол N Дирак фермиондарынан тұрады. Лагранж тығыздығы:

Эйнштейннің қосынды белгісі қолданылады, – екі компонентті спинор және – байланыс константасы. Егер масса нөлден өзгеше болса, модель классикалық түрде массивті, әйтпесе хиральдық симметрияға ие. Бұл модельдің U(N) ғаламдық ішкі симметриясы бар. Егер N=1 (бұл тек бір төрттік өзара әрекеттесуге мүмкіндік береді) және өлшемді талдау арқылы жалғастыруға тырыспаса, модель толық интегралданатын массалық Тирринг моделіне дейін тобыққандалады. Бұл 4 өлшемді Намбу-Жона-Ласинио моделінің (NJL) 2 өлшемді нұсқасы болып табылады, ол 14 жыл бұрын динамикалық хиральдық симметрияны бұзу моделі ретінде енгізілді (бірақ кварктарды қамаусыз), және ол суперөткізгіштіктің BCS теориясына негізделген. 2 өлшемді нұсқасының артықшылығы – 4 ферми өзара әрекеттесуінің қайта нормаланатындығы, ол жоғары өлшемдерде болмайды.

Теорияның ерекшеліктері

Гросс пен Неву осы модельді үлкен шекте зерттеді, тиісті параметрлерді 1/N кеңейту арқылы кеңейтті. Осы және осымен байланысты модельдердің асимптотикалық түрде еркін екенін көрсеткеннен кейін, олар кіші фермиондық массалар үшін бифермиондық конденсаттың вакуумдық күтілетін мәнге (ВЭМ) ие болатынын және нәтижесінде фундаменталдық фермиондардың массаға ие болатынын анықтады. Олар массаның жалғастыру тұрақтысы g-ға қатысты аналитикалық емес екенін тапты. Вакуумдық күтілетін мән теорияның хиральдық симметриясын спонтанды түрде бұзады. Нақтырақ айтқанда, вакуумды кеңейту кезінде, екі сызықты конденсаттың вакуумдық күтілетін мәні болмаған жағдайда, тахионды тапты. Бұл үшін олар бифермиондық өрістің таратушысы үшін қайта нормалау тобының теңдеулерін шешті, сонда жалғастыру тұрақтысының жалғыз қайта нормалануы құрама өрістің толқындық функциясын қайта нормалаудан туындайтынын пайдаланды. Олар кейін, 1/N кеңеюінде жетекші ретпен, бірақ жалғастыру тұрақтысының барлық тәртібінде, Сидни Коулманның өткен жылы Эрис халықаралық жазғы физика мектебінде енгізген тиімді әрекет әдістерін қолдана отырып, конденсатқа әлеуеттік энергияның тәуелділігін есептеді. Олар бұл потенциалдың конденсаттың нөлдік емес мәнінде ең аз болатынын анықтады, бұл конденсаттың нақты мәні екенін көрсетеді. Жаңа вакуумға қатысты теорияны кеңейтуде тахионның енді жоқ екені анықталды және шын мәнінде, суперөткізгіштіктің BCS теориясы сияқты, массалық саңылау бар. Содан кейін олар кванттық өріс теорияларындағы динамикалық массаның пайда болуы туралы бірқатар жалпы аргументтер келтірді. Мысалы, олар инфрақызыл тұрақты теориялардағы барлық массалардың динамикалық түрде пайда бола бермейтінін көрсетті, осыны пайдаланып, кем дегенде 1/N-де жетекші тәртіпке дейін 4 өлшемді теорияның жоқ екенін дәлелдеді. Сондай-ақ, олар асимптотикалық түрде еркін теорияларда динамикалық түрде пайда болған массалардың жалғастыру константаларына аналитикалық түрде тәуелді болмайтынын дәлелдеді.

Жалпылау

Гросс пен Неву бірнеше жалпыламаларды қарастырды. Біріншіден, олар бір қосымша төрттік өзара әрекеттесуі бар Лагранжды қарастырды, осылайша бастапқы модельдің дискретті хиральдық симметриясы үздіксіз U(1) шамаланған хиральдық симметрияға дейін күшейтіледі. Хиральдық симметрияның бұзылуы бұрынғыдай, сол VEV-ге байланысты жүреді. Дегенмен, спонтанды түрде бұзылған симметрия енді үздіксіз болғандықтан, спектрде массасыз Голдстоун бозоны пайда болады. Бұл 1/N кеңеюіндегі жетекші тәртіпте ешқандай мәселе тудырмаса да, екі өлшемді кванттық өріс теорияларындағы массасыз бөлшектер сөзсіз инфрақызыл дивергенцияларға алып келеді, сондықтан теорияның бар екені күмәнді. Содан кейін осы мәселені шешетін өзгертілген теорияның тағы екі түрі қарастырылды. Бір түрінде өлшемдер саны арттырылады. Нәтижесінде, массасыз өріс дивергенцияларға себеп болмайды. Екінші түрінде хиральдық симметрия өлшендіріледі. Нәтижесінде, Голдстоун бозоны фотон массалық болған кезде Хиггс механизмі арқылы жұтылады, демек, ешқандай дивергенцияларға алып келмейді.