Введение

Квантовая теория в 1+1 измерениях
Модель Гросс–Невью (GN) — это модель квантовой теории поля фермионов Дирака, взаимодействующих посредством четырехфермионных взаимодействий в 1 пространственном и 1 временном измерении. Она была предложена в 1974 году Дэвидом Гроссом и Андре Неву как упрощенная модель для квантовой хромодинамики (КХД), теории сильных взаимодействий. Модель GN обладает рядом общих черт с КХД: она является асимптотически свободной, то есть при сильном взаимодействии сила взаимодействия уменьшается, а соответствующая бета-функция взаимодействия отрицательна, в ней существует динамический механизм генерации массы с нарушением хиральной симметрии, и в пределе большого числа ароматов модель GN ведет себя аналогично пределу t'Hooft в КХД. Модель состоит из N фермионов Дирака. Плотность лагранжиана записывается с использованием соглашения Эйнштейна о суммировании, где — двукомпонентный спинорный объект, а — константа связи. Если масса не равна нулю, модель классически является массивной, в противном случае она обладает хиральной симметрией. Эта модель имеет глобальную внутреннюю симметрию U(N). Если взять N=1 (что допускает только одно квадртичное взаимодействие) и не пытаться аналитически продолжить размерность, модель сводится к массивной модели Тирринга (которая полностью интегрируема). Это двухмерная версия четырехмерной модели Намбу–Йона-Ласинио (NJL), которая была предложена за 14 лет до этого как модель динамического нарушения хиральной симметрии (но без конфайнмента кварков), основанная на теории сверхпроводимости БКШ. Двухмерная версия имеет преимущество в том, что четырехфермионное взаимодействие является перенормируемым, что не имеет места в большем числе измерений.

Особенности теории

Гросс и Неву изучили эту модель в пределе больших значений, расширив соответствующие параметры в ряде 1/N. После того, как они показали, что эта и связанные с ней модели асимптотически свободны, они обнаружили, что в следующем за ведущим порядке, для малых масс фермионов бифермионный конденсат приобретает вакуумное среднее (ВС) и, как следствие, фундаментальные фермионы становятся массивными. Они обнаружили, что масса не является аналитической функцией от константы связи g. Вакуумное среднее спонтанно нарушает хиральную симметрию теории. Более точно, разлагая вблизи вакуума, в котором вакуумное среднее для билинейного конденсата равно нулю, они обнаружили тахион. Для этого они решили уравнения ренормализационной группы для пропагатора поля бифермиона, используя тот факт, что единственная ренормализация константы связи происходит за счет ренормализации волновой функции составного поля. Затем они вычислили, в ведущем порядке в ряде 1/N, но во всех порядках константы связи, зависимость потенциальной энергии от конденсата, используя методы эффективного действия, представленные годом ранее Сидни Колеманом на Эрической международной летней школе физики. Они обнаружили, что этот потенциал минимизируется при ненулевом значении конденсата, что указывает на то, что это истинное значение конденсата. Разлагая теорию вблизи нового вакуума, они обнаружили, что тахиона больше нет, и, как и в теории сверхпроводимости БКШ, существует щель в массе. Затем они привели ряд общих аргументов о динамическом генерировании массы в квантовых теориях поля. Например, они показали, что не все массы могут быть динамически сгенерированы в теориях, которые инфракрасно стабильны, используя это для утверждения, что, по крайней мере, в ведущем порядке в 1/N, 4-мерная теория не существует. Они также утверждали, что в асимптотически свободных теориях динамически сгенерированные массы никогда не зависят аналитически от констант связи.

Обобщения

Гросс и Неву рассмотрели несколько обобщений. Во-первых, они рассмотрели лагранжиан с одним дополнительным квартическим взаимодействием, выбранным таким образом, чтобы дискретная хиральная симметрия исходной модели была усилена до непрерывной U(1)-значной хиральной симметрии. Нарушение хиральной симметрии происходит по-прежнему, вызванное тем же вакуумным средним значением (VEV). Однако, поскольку спонтанно нарушенная симметрия теперь непрерывна, в спектре появляется безмассовый бозон Голдстоуна. Хотя это не приводит к проблемам в ведущем порядке в расширении 1/N, безмассовые частицы в двухмерных квантовых теориях поля неизбежно приводят к инфракрасным расходимостям, и поэтому теория, по-видимому, не существует. Затем были рассмотрены две дальнейшие модификации модифицированной теории, устраняющие эту проблему. В одной модификации увеличивается число измерений. В результате, безмассовое поле не приводит к расходимостям. В другой модификации хиральная симметрия калибровочна. В результате, бозон Голдстоуна поглощается механизмом Хиггса, поскольку фотон приобретает массу, и, следовательно, не приводит к каким-либо расходимостям.