Кіріспе
Махсус ішкі көбейтіндіге ие тензорлық көбейтінді кеңістігі. Математикада, әсіресе функционалдық талдауда, Гильберт кеңістіктерінің тензорлық көбейтіндісі – екі Гильберт кеңістігінің тензорлық көбейтіндісін алу нәтижесінде басқа бір Гильберт кеңістігін алу үшін тензорлық көбейтінді құрылымын кеңейтудің әдісі. Шамамен айтқанда, тензорлық көбейтінді – бұл қалыпты тензорлық көбейтіндінің метрикалық кеңістік ретінде толықтырылуы. Бұл топологиялық тензорлық көбейтіндінің мысалы. Тензорлық көбейтінді Гильберт кеңістіктерін симметриялық моноидтік категорияға біріктіруге мүмкіндік береді.
Анықтама
Гилберт кеңістіктері ішкі өнімдерге ие болғандықтан, факторлардағы ішкі өнімдерден табиғи түрде туындайтын тензорлық көбейтіндіге ішкі өнімді және осы арқылы топологияны енгізуге болады. Екі Гилберт кеңістігін, және , сәйкесінше және ішкі өнімдерімен қарастырайық. Тензорлық көбейтінділер туралы мақалада сипатталғандай, векторлық кеңістік ретінде және тензорлық көбейтіндісін құрастырайық. Бұл векторлық кеңістіктің тензорлық көбейтіндісін келесідей анықтап, сызықтылық принципі бойынша кеңейту арқылы ішкі өнім кеңістігіне айналдыруға болады:
and extending by linearity. That this inner product is the natural one is justified by the identification of scalar valued bilinear maps on and linear functionals on their vector space tensor product. Finally, take the completion under this inner product. The resulting Hilbert space is the tensor product of and
және
and extending by linearity. That this inner product is the natural one is justified by the identification of scalar valued bilinear maps on and linear functionals on their vector space tensor product. Finally, take the completion under this inner product. The resulting Hilbert space is the tensor product of and
Осы ішкі өнімнің табиғи екендігі, және кеңістіктеріндегі скалярлық мәнді билинейлі карталар мен олардың тензорлық көбейтіндісіндегі сызықтық функционалдардың сәйкес келуімен негізделеді. Ақырында, осы ішкі өнімге қатысты толықтыруды қарастырайық. Нәтижесінде алынған Гилберт кеңістігі, және тензорлық көбейтіндісі болады.
and extending by linearity. That this inner product is the natural one is justified by the identification of scalar valued bilinear maps on and linear functionals on their vector space tensor product. Finally, take the completion under this inner product. The resulting Hilbert space is the tensor product of and
Тензорлық шексіз көбейтінділер
Тарихи тұрғыдан алғанда, Гильберт кеңістіктерінің кез келген мөлшердегі жиынтығының тензорлық көбейтіндісі үшін екі түрлі анықтама ұсынылған. Фон Нейманның дәстүрлі анықтамасы жай ғана "көзге көрінетін" тензорлық көбейтіндіні қабылдайды: есептеу үшін, біріншіден, формасы барлық қарапайым тензорларды жинаңыз, мұндағы соңғысы поляризациялық тепе-теңдік арқылы ішкі көбейтімге дейінгі сипаттаманы береді, сондықтан осындай қарапайым тензорлардың жабық кеңістігін алыңыз, осы ішкі көбейтімнің изотропиялық кіші кеңістіктеріне қатысты. Бұл анықтама дерлік ешқашан бөлінетін болмайды, себебі физикалық қолданыстарда кеңістіктің "көп бөлігі" мүмкін емес күйлерді сипаттайды. Қазіргі авторлар көбінесе Гишарде ұсынған анықтаманы қолданады: есептеу үшін, біріншіден, әр Гильберт кеңістігінде бірлік векторды таңдаңыз, содан кейін формасы барлық қарапайым тензорларды жинаңыз, мұнда тек шекті саны бірінен өзгеше болады. Содан кейін осы қарапайым тензорлардың толықтырылуын алыңыз.
Операторлық алгебралар
Келіңіздер, болып табылады, үшін шектеулі операторлардың фон Нейман алгебрасы. Одан кейін фон Нейман алгебраларының тензорлық көбейтіндісі, үшін қарапайым тензорлық көбейтінділердің барлық шекті сызықтық комбинациялары жиынтығының күшті толықтырылуы болып табылады. Бұл Хилберт кеңістіктерінен айырмашылығы, анықтамасыз операторлардың C* алгебраларының және фон Нейман алгебраларының шекті тензорлық көбейтінділерін алуға болады. Бұл Хилберт кеңістігі тензорлық көбейтіндісінің құрылысында толықтығын алудың қажеттілігін түсіндіреді. Сол сияқты, квадраттық интеграл функциялар кеңістігін білдіретін болса, егер бұл кеңістік бөлінетін болса, изоморфты екенін көрсете аламыз. Изоморфизм -ке дейін бейнелейді. Бұны алдыңғы мысалмен біріктіре аламыз және және екеуі де гильберттік кеңістіктердің тензорлық өнімдеріне изоморфты деп қорытындылаймыз.
Кванттық механикада Хилберт кеңістіктерінің тензорлық көбейтінділері жиі кездеседі. Егер бір бөлшек Хилберт кеңістігі арқылы сипатталса, ал екінші бөлшек арқылы сипатталса, онда екі бөлшектен тұратын жүйе және тензорлық көбейтіндісімен сипатталады. Мысалы, кванттық гармоникалық осциллятордың күй кеңістігі болса, екі осциллятордың күй кеңістігі болады, ол -ға изоморфты. Сондықтан, екі бөлшектік жүйе түріндегі толқындық функциялармен сипатталады. Күрделірек мысал – бөлшектердің өзгеретін санына сипаттама беретін Фок кеңістіктері.