Введение
Тензорное произведение пространства, наделённое специальным внутренним произведением. В математике, и в частности в функциональном анализе, тензорное произведение гильбертовых пространств — это способ расширения построения тензорного произведения таким образом, чтобы результатом тензорного произведения двух гильбертовых пространств было другое гильбертово пространство. Если говорить упрощённо, тензорное произведение представляет собой метрическое завершение обычного тензорного произведения. Это пример топологического тензорного произведения. Тензорное произведение позволяет объединять гильбертовы пространства в симметричную моноидальную категорию.
Определение
Поскольку гильбертовы пространства имеют внутренние произведения, возникает желание ввести внутреннее произведение, а следовательно, и топологию на тензорном произведении, которое естественно возникает из внутренних произведений сомножителей. Пусть и будут два гильбертовы пространства с внутренними произведениями и соответственно. Построим тензорное произведение и как векторные пространства, как описано в статье о тензорных произведениях. Мы можем превратить это тензорное произведение векторных пространств в пространство с внутренним произведением, определив
и распространив его по линейности. Обоснование того, что это внутреннее произведение является естественным, заключается в отождествлении скалярнозначных билинейных отображений на и линейных функционалов на их тензорном произведении векторных пространств. Наконец, выполним завершение относительно этого внутреннего произведения. Полученное гильбертово пространство является тензорным произведением и.
Бесконечные тензорные произведения
Исторически было предложено два различных определения тензорного произведения произвольной коллекции гильбертовых пространств. Традиционное определение фон Неймана просто берет "очевидное" тензорное произведение: для вычисления , сначала собирают все простые тензоры вида , такие, что последний описывает предварительное внутреннее произведение через тождество поляризации, поэтому берут замкнутую оболочку таких простых тензоров по модулю подпространств изотропии этого внутреннего произведения. Это определение почти никогда не является сепарабельным, отчасти потому, что в физических приложениях "большая часть" пространства описывает невозможные состояния. Современные авторы обычно используют вместо этого определение Гишарде: для вычисления , сначала выбирают единичный вектор в каждом гильбертовом пространстве, а затем собирают все простые тензоры вида , в которых только конечное число отличается от единицы. Затем берут завершение этих простых тензоров.
Алгебры операторов
Пусть будет алгебра фон Неймана ограниченных операторов на для Тогда тензорный продукт фон Неймана алгебр фон Неймана является сильным завершением множества всех конечных линейных комбинаций простых тензорных произведений , где для Это точно равно алгебре фон Неймана ограниченных операторов на . В отличие от гильбертовых пространств, можно брать бесконечные тензорные произведения алгебр фон Неймана, и, следовательно, C*-алгебр операторов, не определяя опорные состояния. Это показывает, что изоморфно , и также объясняет, почему необходимо брать завершение при построении тензорного произведения гильбертовых пространств. Аналогично, мы можем показать, что , обозначающее пространство квадратично интегрируемых функций, изоморфно , если это пространство сепарабельно. Изоморфизм отображает в . Мы можем объединить это с предыдущим примером и заключить, что и оба изоморфны .
Тензорные произведения гильбертовых пространств часто возникают в квантовой механике. Если некоторая частица описывается гильбертовым пространством , а другая частица описывается , то система, состоящая из обеих частиц, описывается тензорным произведением и . Например, пространство состояний квантового гармонического осциллятора равно , поэтому пространство состояний двух осцилляторов равно , которое изоморфно . Следовательно, система двух частиц описывается волновыми функциями вида . Более сложный пример предоставляют пространства Фока, которые описывают переменное число частиц.