2-санаттар теориясы: қатаң 2-санаттар, бикатегориялар және олардың категориялармен байытылған құрылымы. Эресманн мен Бенабу еңбектерінен маңызды анықтамалар.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Категорияның жалпылануы
Generalization of category
Категория теориясында қатаң 2-категория – "морфизмдердің арасындағы морфизмдері" бар категория, яғни әр гоможина өзі категория құрылымын камтиды. Оны Cat үстінен байытылған категория ретінде (категориялар мен функторлар категориясы, моноидальды құрылым категориялардың көбейтіндісімен беріледі) формальды түрде анықтауға болады. 2-категория ұғымын алғаш рет 1965 жылы Чарльз Эресманн байытылған категориялар туралы еңбегінде енгізді. Морфизмдердің композициясы тек 2-изоморфизмге дейін ассоциативті болатын бикатегорияның (немесе әлсіз 2-категорияның) көбірек жалпылама түсінігі 1968 жылы Жан Бенабу енгізді.
In category theory, a strict 2 category is a category with "morphisms between morphisms", that is, where each hom set itself carries the structure of a category. It can be formally defined as a category enriched over Cat (the category of categories and functors, with the monoidal structure given by product of categories). The concept of 2 category was first introduced by Charles Ehresmann in his work on enriched categories in 1965. The more general concept of bicategory (or weak 2 category), where composition of morphisms is associative only up to a 2 isomorphism, was introduced in 1968 by Jean Bénabou.
Мысалдар
Ord (алдын ала реттелген жиынтықтар) санаты 2-санат болып табылады, себебі алдын ала реттелген жиынтықтарды категориялар ретінде оңай қарастыруға болады.
The category Ord (of preordered sets) is a 2 category since preordered sets can easily be interpreted as categories.
Кіші санаттардың санаты
Архетиптік 2-категория – кіші категориялардың категориясы, онда табиғи трансформациялар 2-морфизмдер рөлін атқарады; осы себепті 2-морфизмдер әдетте грек әріптерімен белгіленеді (мысалы, жоғарыда көрсетілгендей). Объектілер (0-жасушалар) – барлық кіші категориялар, ал кез келген A және B объектілері үшін категориясы – функторлық категория. Осы контексте вертикальды композиция – табиғи трансформациялардың композициясы.
The archetypal 2 category is the category of small categories, with natural transformations serving as 2 morphisms; typically 2 morphisms are given by Greek letters (such as above) for this reason. The objects (0 cells) are all small categories, and for all objects A and B the category is a functor category. In this context, vertical composition is the composition of natural transformations.
Доктриналар
Математикада доктрина – бұл теориялар жүйесі ретінде эвристикалық тұрғыдан қарастырылатын 2-категория. Мысалы, Уильям Лоувир ойлап тапқан алгебралық теориялар, көп реттелген теориялар, операдтар, категориялар және топостар доктринаның мысалдары болып табылады. 2-категориядағы объектілер теориялар деп аталады, 1-морфизмдер – А-ның В-дегі модельдері, ал 2-морфизмдер – модельдер арасындағы морфизмдер. 2-категория мен доктрина арасындағы айырмашылық көбінесе эвристикалық сипатта: 2-категорияны әдетте теориялар объектілер ретінде және модельдер морфизмдер ретінде қарастырмайды. Осы терминология доктриналар теориясын зерттеуге құнды жасайды. Мысалы, категориялар, функторлар және табиғи түрлендірулерден тұратын Cat 2-категориясы – доктрина болып табылады. Барлық прешеф категориялары модельдер категориялары екені бірден көрінеді. Тағы бір мысал ретінде, Cat-тың шекті көбейтінділері бар категорияларды ғана объектілер ретінде және көбейтіндіні сақтайтын функторларды 1-морфизмдер ретінде қамтитын субкатегориясын алуға болады. Бұл көп реттелген алгебралық теориялар доктринасы. Егер тек 1 реттелген алгебралық теорияларды қарастырғымыз келсе, онда объектілерді тек бір объектінің көбейтінділері арқылы жаратылатын категориялармен шектеу керек. Доктриналарды Джонатан Мок Бек ашқан.
In mathematics, a doctrine is simply a 2 category which is heuristically regarded as a system of theories. For example, algebraic theories, as invented by William Lawvere, is an example of a doctrine, as are multi sorted theories, operads, categories, and toposes. The objects of the 2 category are called theories, the 1 morphisms are called models of the A in B, and the 2 morphisms are called morphisms between models. The distinction between a 2 category and a doctrine is really only heuristic: one does not typically consider a 2 category to be populated by theories as objects and models as morphisms. It is this vocabulary that makes the theory of doctrines worth while. For example, the 2 category Cat of categories, functors, and natural transformations is a doctrine. One sees immediately that all presheaf categories are categories of models. As another example, one may take the subcategory of Cat consisting only of categories with finite products as objects and product preserving functors as 1 morphisms. This is the doctrine of multi sorted algebraic theories. If one only wanted 1 sorted algebraic theories, one would restrict the objects to only those categories that are generated under products by a single object. Doctrines were discovered by Jonathan Mock Beck.