2-Категории и доктрины: Обобщение категорийного подхода
Strict 2-category
2-категории в теории категорий: определение, строгие и слабые (bicategories) структуры, примеры (Ord). Обогащенные категории и работы Эресманна, Бенабу.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Обобщение категории
Generalization of category
В теории категорий строгая 2-категория — это категория с «морфизмами между морфизмами», то есть, где каждый гомо-класс сам несет структуру категории. Формально её можно определить как категорию, обогащенную над Cat (категорией категорий и функторов, с моноидальной структурой, заданной произведением категорий). Понятие 2-категории было впервые введено Шарлем Эресманом в его работе об обогащенных категориях в 1965 году. Более общая концепция бикатегории (или слабой 2-категории), где композиция морфизмов ассоциативна лишь с точностью до 2-изоморфизма, была введена в 1968 году Жаном Бенабу.
In category theory, a strict 2 category is a category with "morphisms between morphisms", that is, where each hom set itself carries the structure of a category. It can be formally defined as a category enriched over Cat (the category of categories and functors, with the monoidal structure given by product of categories). The concept of 2 category was first introduced by Charles Ehresmann in his work on enriched categories in 1965. The more general concept of bicategory (or weak 2 category), where composition of morphisms is associative only up to a 2 isomorphism, was introduced in 1968 by Jean Bénabou.
Примеры
Категория Ord (предварительно упорядоченных множеств) является 2-категорией, поскольку предварительно упорядоченные множества можно легко интерпретировать как категории.
The category Ord (of preordered sets) is a 2 category since preordered sets can easily be interpreted as categories.
Категория малых категорий
Архетипическая 2-категория — это категория малых категорий, где естественные преобразования выступают в роли 2-морфизмов; обычно 2-морфизмы обозначаются греческими буквами (например, выше) по этой причине. Объектами (0-ячейками) являются все малые категории, и для любых объектов A и B категория Fun(A, B) является категорией функторов. В этом контексте вертикальная композиция — это композиция естественных преобразований.
The archetypal 2 category is the category of small categories, with natural transformations serving as 2 morphisms; typically 2 morphisms are given by Greek letters (such as above) for this reason. The objects (0 cells) are all small categories, and for all objects A and B the category is a functor category. In this context, vertical composition is the composition of natural transformations.
Доктрины
В математике доктрина — это просто 2-категория, которая эвристически рассматривается как система теорий. Например, алгебраические теории, разработанные Уильямом Лоувером, являются примером доктрины, как и многосортированные теории, операды, категории и топосы. Объекты 2-категории называются теориями, 1-морфизмы называются моделями A в B, а 2-морфизмы — морфизмами между моделями. Различие между 2-категорией и доктриной носит скорее эвристический характер: обычно не рассматривают 2-категорию как состоящую из теорий в качестве объектов и моделей в качестве морфизмов. Именно такая терминология делает теорию доктрин полезной. Например, 2-категория Cat, состоящая из категорий, функторов и естественных преобразований, является доктриной. Сразу становится ясно, что все категории предпучков являются категориями моделей. В качестве другого примера можно рассмотреть подкатегорию Cat, состоящую только из категорий с конечными произведениями в качестве объектов и функторов, сохраняющих произведения, в качестве 1-морфизмов. Это доктрина многосортированных алгебраических теорий. Если бы требовались только односортированные алгебраические теории, то объекты следовало бы ограничить категориями, порожденными произведениями из одного объекта. Доктрины были открыты Джонатаном Моком Беком.
In mathematics, a doctrine is simply a 2 category which is heuristically regarded as a system of theories. For example, algebraic theories, as invented by William Lawvere, is an example of a doctrine, as are multi sorted theories, operads, categories, and toposes. The objects of the 2 category are called theories, the 1 morphisms are called models of the A in B, and the 2 morphisms are called morphisms between models. The distinction between a 2 category and a doctrine is really only heuristic: one does not typically consider a 2 category to be populated by theories as objects and models as morphisms. It is this vocabulary that makes the theory of doctrines worth while. For example, the 2 category Cat of categories, functors, and natural transformations is a doctrine. One sees immediately that all presheaf categories are categories of models. As another example, one may take the subcategory of Cat consisting only of categories with finite products as objects and product preserving functors as 1 morphisms. This is the doctrine of multi sorted algebraic theories. If one only wanted 1 sorted algebraic theories, one would restrict the objects to only those categories that are generated under products by a single object. Doctrines were discovered by Jonathan Mock Beck.