Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Құрылымдық талдау әдістерінің бірі ретінде тікелей қаттылық әдісі, сондай-ақ матрицалық қаттылық әдісі деп аталады, әсіресе күрделі құрылымдарды, соның ішінде статикалық анықталмаған түрлерін компьютерлік автоматтандырылған талдау үшін өте қолайлы. Бұл матрицалық әдіс, ол құрылым элементтерінің қаттылық қатынастарын пайдаланып, элементтерге түсетін күштерді және құрылымдардағы орын ауыстыруларды есептеуге мүмкіндік береді. Тікелей қаттылық әдісі – шекті элементтер әдісінің (FEM) ең көп қолданылатын түрі. Әдісті қолдану үшін жүйе, түйіндерде біріктірілген қарапайым, идеалданған элементтер жиынтығы ретінде модельделуі тиіс. Осы элементтердің материалдық қаттылық қасиеттері матрицалық математика арқылы біріктіріліп, бүкіл идеалданған құрылымның мінез-құлқын анықтайтын бір матрицалық теңдеу құралады. Құрылымның белгісіз орын ауыстырулары мен күштері осы теңдеуді шешу арқылы анықталады. Тікелей қаттылық әдісі көптеген коммерциялық және ашық кодты шекті элементтер бағдарламалық қамтамасының негізін құрайды. Тікелей қаттылық әдісі әуе-ғарыш саласында қалыптасқан. Зерттеушілер күрделі ұшақ конструкцияларын талдау үшін әртүрлі тәсілдерді қарастырды, оларға серпімділік теориясы, құрылымдық механикадағы энергия принциптері, икемділік әдісі және матрицалық қаттылық әдісі кірді. Осы әдістерді талдау нәтижесінде тікелей қаттылық әдісі компьютерде іске асыруға ыңғайлы, тиімді әдіс ретінде пайда болды.
As one of the methods of structural analysis, the direct stiffness method, also known as the matrix stiffness method, is particularly suited for computer automated analysis of complex structures including the statically indeterminate type. It is a matrix method that makes use of the members' stiffness relations for computing member forces and displacements in structures. The direct stiffness method is the most common implementation of the finite element method (FEM). In applying the method, the system must be modeled as a set of simpler, idealized elements interconnected at the nodes. The material stiffness properties of these elements are then, through matrix mathematics, compiled into a single matrix equation which governs the behaviour of the entire idealized structure. The structure’s unknown displacements and forces can then be determined by solving this equation. The direct stiffness method forms the basis for most commercial and free source finite element software. The direct stiffness method originated in the field of aerospace. Researchers looked at various approaches for analysis of complex airplane frames. These included elasticity theory, energy principles in structural mechanics, flexibility method and matrix stiffness method. It was through analysis of these methods that the direct stiffness method emerged as an efficient method ideally suited for computer implementation.
Тарих
1934 және 1938 жылдар аралығында А. Р. Коллар мен В. Дж. Дункан қазіргі күні қолданылатын матрицалық жүйелерді бейнелеу және терминологиясы бойынша алғашқы мақалаларын жариялады. Аэроэластикалық зерттеулер Екінші дүниежүзілік соғыс кезеңінде де жалғасты, бірақ 1938 жылдан 1947 жылға дейінгі жарияланымдарға қойылған шектеулер осы жұмысты табуды қиындатады. Матрицалық құрылымдық талдаудағы екінші маңызды табыс 1954 және 1955 жылдары профессор Джон Х. Аргирис құрылымның элементтік бөліктерін теңдеулер жүйесіне біріктіру концепциясын жүйелеген кезде орын алды. Соңында, 1959 жылғы 6 қарашада Боингтің Құрылымдық Динамика бөлімінің басшысы М. Дж. Тернер компьютерде іске асыруға тиімді модель ретінде тікелей беріктік әдісін сипаттаған мақала жариялады.
Between 1934 and 1938 A. R. Collar and W. J. Duncan published the first papers with the representation and terminology for matrix systems that are used today. Aeroelastic research continued through World War II but publication restrictions from 1938 to 1947 make this work difficult to trace. The second major breakthrough in matrix structural analysis occurred through 1954 and 1955 when professor John H. Argyris systemized the concept of assembling elemental components of a structure into a system of equations. Finally, on Nov. 6 1959, M. J. Turner, head of Boeing’s Structural Dynamics Unit, published a paper outlining the direct stiffness method as an efficient model for computer implementation .
Шешім
Жүйенің қаттылық матрицасы K квадрат, себебі R және r векторларының өлшемдері бірдей. Бұған қоса, ол симметриялық, өйткені симметриялық. (2) теңдеуде тіректердің шектеулері ескерілгеннен кейін, түйіндік орын ауыстырулар сызықтық теңдеулер жүйесін (2) шешу арқылы табылады, шартты түрде:
The system stiffness matrix K is square since the vectors R and r have the same size. In addition, it is symmetric because is symmetric. Once the supports' constraints are accounted for in (2), the nodal displacements are found by solving the system of linear equations (2), symbolically:
Содан кейін, элементтердің ерекше күштері (1) теңдеуден анықталады, мұнда үйлесімділік шарттарын ескере отырып, r-ден табуға болады.
Subsequently, the members' characteristic forces may be found from Eq. (1) where can be found from r by compatibility consideration.
Тікелей қаттылық әдісі
Көп жағдайда, (1) теңдеуі мүше ұштарының r және R бағыттарымен сәйкес келетін ауысулары мен күштері түрінде беріледі. Мұндай жағдайда, және мүшелердің матрицаларын тікелей қосу арқылы есептелуі мүмкін, ал бұл әдіс тікелей қаттылық әдісі деп аталады. Матрицалық қаттылық әдісінің артықшылықтары мен кемшіліктері икемділік әдісі туралы мақалада салыстырылып, талқыланады.
It is common to have Eq. (1) in a form where and are, respectively, the member end displacements and forces matching in direction with r and R. In such case, and can be obtained by direct summation of the members' matrices and The method is then known as the direct stiffness method. The advantages and disadvantages of the matrix stiffness method are compared and discussed in the flexibility method article.
Бөлімдеу
Тікелей қаттылық әдісін қолданудың алғашқы қадамы – құрылымды құрайтын жеке элементтерді анықтау. Элементтер анықталғаннан кейін, құрылым түйіндерде бөлінеді, яғни әртүрлі элементтерді байланыстыратын нүктелерде. Содан кейін әр элемент жеке-жеке талданып, элементтің қаттылық теңдеулері есептеледі. Күштер мен орын ауыстырулар элементтің геометриясы мен қасиеттеріне байланысты элементтің қаттылық матрицасы арқылы байланыстырылады. Ферма элементі тек сығу немесе кернеу күштерін ғана өткізе алады. Бұл екі өлшемде әр түйіннің екі еркіндік дәрежесі бар екенін білдіреді: көлденең және тік орын ауыстыру. Соның салдарынан төртке төрттік қаттылық матрицасы алынады. Рама элементі сығу және кернеуден өзге иілу моменттеріне де төтеп бере алады. Бұл үш еркіндік дәрежесіне алып келеді: көлденең орын ауыстыру, тік орын ауыстыру және жазықтықтағы бұрылу. Бұл жағдайда қаттылық матрицасы 6х6 болады. Басқа элементтер, мысалы пластиналар мен қабықтар да тікелей қаттылық әдісіне енгізілуі мүмкін, және олар үшін де ұқсас теңдеулер жасалуы керек.
The first step when using the direct stiffness method is to identify the individual elements which make up the structure. Once the elements are identified, the structure is disconnected at the nodes, the points which connect the different elements together. Each element is then analyzed individually to develop member stiffness equations. The forces and displacements are related through the element stiffness matrix which depends on the geometry and properties of the element. A truss element can only transmit forces in compression or tension. This means that in two dimensions, each node has two degrees of freedom (DOF): horizontal and vertical displacement. The resulting equation contains a four by four stiffness matrix. A frame element is able to withstand bending moments in addition to compression and tension. This results in three degrees of freedom: horizontal displacement, vertical displacement and in plane rotation. The stiffness matrix in this case is six by six. Other elements such as plates and shells can also be incorporated into the direct stiffness method and similar equations must be developed.
Шешім
Глобалды қаттылық матрицасы, орын ауыстыру векторы және күш векторы құрылғаннан кейін, жүйе бір матрицалық теңдеу түрінде жазылуы мүмкін. Құрылымдағы әрбір еркіндік дәрежесі үшін орын ауыстыру немесе күш мәні белгілі болады. Әрбір еркіндік дәрежесі үшін белгілі мәнді енгізгеннен кейін, негізгі қаттылық теңдеуі толыққанды болып, есептеуге дайын тұрады. Матрицалық теңдеуді есептеу үшін түрлі әдістер қолданылуы мүмкін, мысалы, Чолски ыдырау әдісі және теңдеулер жүйесін тікелей шешу әдісі сияқты. Егер құрылым тиісті түрде бекітілмеген болса, күш түсірген кезде ол қатаң түрде жылғалыстайды, сондықтан қосымша тіреу шарттары қосылуы керек. Осы бөлімде сипатталған әдіс – тікелей қаттылық әдісінің жалпы шолуы. Процесс туралы толық ақпарат алу үшін, сондай-ақ материалдың қасиеттеріне қатысты болжамдар үшін қосымша дереккөздерге жүгіну қажет.
Once the global stiffness matrix, displacement vector, and force vector have been constructed, the system can be expressed as a single matrix equation. For each degree of freedom in the structure, either the displacement or the force is known. After inserting the known value for each degree of freedom, the master stiffness equation is complete and ready to be evaluated. There are several different methods available for evaluating a matrix equation including but not limited to Cholesky decomposition and the brute force evaluation of systems of equations. If a structure isn’t properly restrained, the application of a force will cause it to move rigidly and additional support conditions must be added. The method described in this section is meant as an overview of the direct stiffness method. Additional sources should be consulted for more details on the process as well as the assumptions about material properties inherent in the process.
Қолданбалар
Тікелей қаттылық әдісі көптеген элементтерден тұратын күрделі құрылымдарды бағалау үшін компьютерлік бағдарламалық қамтамасыз етуге тиімді және оңай енгізу мақсатында әзірленді. Бүгінде қолжетімді дерлік барлық шекті элементтерді шешуші бағдарламалары тікелей қаттылық әдісіне негізделген. Әрбір бағдарлама бірдей процесті қолданса да, көптеген бағдарламалар есептеу уақытын қысқарту және қажетті жадты азайту үшін жаңартылған. Осыған қол жеткізу үшін ықшамдау жолдары жасалған. Тікелей қаттылық әдісін қолданудың ең кең салаларының бірі – құрылымдық талдау саласы, онда бұл әдіс модельдеу бағдарламалық жасақтамасына енгізілген. Бағдарлама пайдаланушыларға құрылымды модельдеуге мүмкіндік береді және пайдаланушы элементтердің материалдық қасиеттерін анықтағаннан кейін, бағдарлама автоматты түрде элементтік және жалпы қаттылық байланыстарын құрайды. Әртүрлі жүктеме жағдайлары қолданылған кезде бағдарлама құрылымды бағалайды және пайдаланушы үшін деформацияларды есептейді.
The direct stiffness method was developed specifically to effectively and easily implement into computer software to evaluate complicated structures that contain a large number of elements. Today, nearly every finite element solver available is based on the direct stiffness method. While each program utilizes the same process, many have been streamlined to reduce computation time and reduce the required memory. In order to achieve this, shortcuts have been developed. One of the largest areas to utilize the direct stiffness method is the field of structural analysis where this method has been incorporated into modeling software. The software allows users to model a structure and, after the user defines the material properties of the elements, the program automatically generates element and global stiffness relationships. When various loading conditions are applied the software evaluates the structure and generates the deflections for the user.