Введение
Как один из методов структурного анализа, метод прямой жёсткости, также известный как матричный метод жёсткости, особенно хорошо подходит для автоматизированного компьютерного анализа сложных конструкций, включая статически неопределимые. Это матричный метод, использующий характеристики жёсткости элементов для вычисления усилий в элементах и перемещений в конструкции. Метод прямой жёсткости является наиболее распространённой реализацией метода конечных элементов (МКЭ). При применении этого метода система должна быть смоделирована как совокупность более простых, идеализированных элементов, соединенных в узлах. Характеристики жёсткости материала этих элементов затем, посредством матричной математики, объединяются в единое матричное уравнение, определяющее поведение всей идеализированной конструкции. Неизвестные перемещения и усилия конструкции могут быть определены путём решения этого уравнения. Метод прямой жёсткости лежит в основе большинства коммерческих и свободно распространяемых программных пакетов для МКЭ. Метод прямой жёсткости возник в области аэрокосмической техники. Исследователи рассматривали различные подходы к анализу сложных конструкций самолётов, включая теорию упругости, принципы энергии в строительной механике, метод гибкости и матричный метод жёсткости. Именно в результате анализа этих методов метод прямой жёсткости выделился как эффективный метод, идеально подходящий для компьютерной реализации.
История
Между 1934 и 1938 годами А. Р. Коллар и В. Дж. Дункан опубликовали первые работы, содержащие представление и терминологию для матричных систем, используемых и сегодня. Исследования в области аэроэластики продолжались во время Второй мировой войны, однако ограничения на публикации с 1938 по 1947 год затрудняют прослеживание этих работ. Второй важный прорыв в матричном структурном анализе произошел в 1954 и 1955 годах, когда профессор Джон Х. Аргирис систематизировал концепцию формирования системы уравнений путем объединения элементарных компонентов конструкции. И, наконец, 6 ноября 1959 года М. Дж. Тернер, руководитель подразделения структурной динамики компании Boeing, опубликовал статью, в которой изложил метод прямой жёсткости как эффективную модель для компьютерной реализации.
Решение
Матрица жесткости системы K является квадратной, поскольку векторы R и r имеют одинаковую размерность. Кроме того, она симметрична, так как матрица [вставить обозначение матрицы, если есть в контексте, иначе оставить как есть] симметрична. После учета ограничений, заданных в (2), узловые перемещения определяются путем решения системы линейных уравнений (2) следующим образом:
Впоследствии, усилия в элементах конструкции могут быть найдены из уравнения (1), где вектор [вставить обозначение вектора, если есть в контексте, иначе оставить как есть] можно определить из вектора r на основе условий совместимости.
Метод прямой жесткости
Обычно уравнение (1) представляется в форме, где и – соответственно, перемещения и силы на концах стержней, направленные в соответствии с r и R. В этом случае и можно получить прямым суммированием матриц стержней и . Этот метод известен как метод прямой жёсткости. Преимущества и недостатки метода матричной жёсткости сравниваются и обсуждаются в статье о методе гибкости.
Распределение
Первый шаг при использовании метода прямой жёсткости — определить отдельные элементы, составляющие конструкцию. После определения элементов структура разъединяется в узлах — точках соединения различных элементов. Затем каждый элемент анализируется отдельно для получения уравнений жёсткости ветви. Связь между силами и перемещениями описывается матрицей жёсткости элемента, которая зависит от геометрии и свойств этого элемента. Элемент фермы может передавать только продольные силы — сжатие или растяжение. Это означает, что в двух измерениях каждый узел имеет две степени свободы (DOF): горизонтальное и вертикальное перемещение. В результате получается уравнение, содержащее матрицу жёсткости размером 4x4. Элемент рамы способен воспринимать изгибающие моменты в дополнение к продольным силам. Это приводит к трём степеням свободы: горизонтальному перемещению, вертикальному перемещению и вращению в плоскости. Матрица жёсткости в этом случае имеет размер 6x6. Другие элементы, такие как пластины и оболочки, также могут быть включены в метод прямой жёсткости, и для них необходимо разработать аналогичные уравнения.
Решение
После построения глобальной матрицы жесткости, вектора перемещений и вектора сил, система может быть представлена в виде единого матричного уравнения. Для каждой степени свободы в конструкции известно либо перемещение, либо усилие. После подстановки известных значений для каждой степени свободы, основное уравнение жесткости завершено и готово к решению. Существует несколько различных методов решения матричных уравнений, включая, но не ограничиваясь, разложение Холецкого и прямое решение систем уравнений. Если конструкция недостаточно закреплена, приложение усилия приведет к ее жесткому перемещению, и необходимо добавить дополнительные условия опирания. Описанный в этом разделе метод представляет собой общий обзор метода прямой жесткости. Для получения более подробной информации о процессе, а также об исходных предположениях относительно свойств материалов, следует обращаться к дополнительным источникам.
Приложения
Метод прямой жёсткости был разработан специально для эффективной и простой реализации в компьютерном программном обеспечении для анализа сложных конструкций, содержащих большое количество элементов. Сегодня почти каждый доступный решатель методом конечных элементов основан на методе прямой жёсткости. Хотя каждая программа использует один и тот же процесс, многие из них были оптимизированы для сокращения времени вычислений и уменьшения требуемой памяти. Для этого были разработаны упрощения. Одной из основных областей применения метода прямой жёсткости является область структурного анализа, где этот метод встроен в программное обеспечение для моделирования. Программное обеспечение позволяет пользователям создавать модель конструкции, а после определения пользователем свойств материалов элементов, программа автоматически генерирует матрицы жёсткости элементов и глобальной жёсткости. При приложении различных нагрузок программное обеспечение анализирует конструкцию и выдаёт пользователю значения перемещений.