Ойын теориясындағы "Дүрбіліккен қол" тепе-теңдігі

Кіріспе

Ойын теориясындағы Нэш тепе-теңдігінің түрі. Ойын теориясында, "дірілдеген қол" бойынша мінсіз тепе-теңдік – бұл Рейнхард Зельтен алғаш ұсынған Нэш тепе-теңдігінің бір түрі. "Дірілдеген қол" бойынша мінсіз тепе-теңдік – ойыншылардың "қол сырғанауы" немесе дірілдеу арқылы, маргіналды ықтималдықпен қаламаған стратегияларды таңдау мүмкіндігін ескеретін тепе-теңдік.

Анықтама

Алдымен, бұзылған ойынды анықтаңыз. Бұзылған ойын – бұл негізгі ойынның көшірмесі, бірақ онда тек толық аралас стратегияларды ғана қолдануға рұқсат етіледі. Толық аралас стратегия – бұл әр стратегияның (таза да, аралас та) нөлдік емес ықтималдықпен ойналатын аралас стратегия. Бұл – ойыншылардың «дірілдеген қолы», яғни олар кейде ниеттенген стратегиясынан өзгеше стратегияны ойнауы мүмкін. Содан кейін, стратегиялар жиыны S (негізгі ойында) дірілдеген қолмен кемелді деп аталады, егер бұзылған ойындардың тізбегі негізгі ойынға жақындаса, және сол тізбекте Нэш тепе-теңдіктерінің сериясы S жиынына жақындаса.

Ескерту: Барлық толық араласқан Нэш тепе-теңдіктері кемелді. 2-ескерту: Кез келген шекті нормативтік формадағы ойынның аралас стратегиялық кеңейтімінде кем дегенде бір кемелді тепе-теңдік болады.

Екі ойыншылы ойындардың тепе-теңдігі

2x2 ойындарда дірілдейтін қолдың толық тепе-теңдігінің жиынтығы, екі үстемдік етпейтін стратегиядан тұратын тепе-теңдіктер жиынтығымен сәйкес келеді. Жоғарыдағы мысалда, <Төмен,Оң> тепе-теңдігінің толық еместігін көреміз, себебі Сол жақ стратегиясы 2-ші ойыншы үшін Оң жақ стратегиясын (әлсіз) үстемдік етеді, ал Жоғарғы стратегиясы 1-ші ойыншы үшін Төменгі стратегияны (әлсіз) үстемдік етеді.

Кең формалы ойындардың тепе-теңдігі

Қоянның дірілдеуінің толықтығын кеңейтілген формадағы ойындарға қолданудың екі мүмкін жолы бар. Біріншіден, кеңейтілген форманы қалыпты форма ойынының қысқаша сипаттамасы ретінде қарастырып, жоғарыда сипатталған ұғымдарды осы қалыпты форма ойынына қолдануға болады. Нәтижесінде алынған бұзылған ойындарда кеңейтілген формадағы ойынның әрбір стратегиясы нөлдік емес ықтималдықпен ойналуы тиіс. Бұл қалыпты формадағы дірілдеген қолмен толық тепе-теңдікке алып келеді. Екіншіден, дірілдерді ойын кезінде ойыншылардың аз ғана ықтималдықпен жасайтын қателіктерінің модельдеуі ретінде қарастыруға болады. Мұндай қателік, көбінесе, ойын барысында ойыншының жоспарлағаннан өзгеше қимыл жасауынан туындайды. Бұл ойыншының жоспарлағаннан өзгеше стратегияны таңдауынан, яғни бүкіл ойынды ойнаудың дұрыс емес жоспарын таңдауынан тұрмайды. Мұны ескеру үшін, бұзылған ойынды әрбір ақпарат жиынтығындағы әрбір қимылдың нөлдік емес ықтималдықпен жасалуын талап ету арқылы анықтауға болады. Дірілдеу ықтималдығы нөлге жақындағандағы мұндай бұзылған ойындардың тепе-теңдіктерінің лиміті кеңейтілген формадағы дірілдеген қолмен толық тепе-теңдік деп аталады. Қалыпты форма мен кеңейтілген формадағы дірілдеген қолмен толық тепе-теңдік ұғымдары салыстыруға келмейді, яғни кеңейтілген формадағы ойынның тепе-теңдігі қалыпты формадағы дірілдеген қолмен толық болуы мүмкін, бірақ кеңейтілген формадағы дірілдеген қолмен толық болмауы да мүмкін, және керісінше. Мысал ретінде, Жан Франсуа Мертенс екі ойыншылы кеңейтілген формадағы ойынның мысалын келтірді, онда кеңейтілген формадағы дірілдеген қолмен толық тепе-теңдікке жол берілмейді, яғни осы ойын үшін кеңейтілген форма мен қалыпты формадағы дірілдеген қолмен толық тепе-теңдік жиындары толыққанды бөлінген. Кеңейтілген формадағы дірілдеген қолмен толық тепе-теңдік сонымен қатар реттік тепе-теңдік болып табылады. Қалыпты формадағы дірілдеген қолмен толық тепе-теңдік кеңейтілген формадағы ойынның реттік болуы мүмкін, бірақ міндетті түрде солай болуы керек емес. Шындығында, қалыпты формадағы дірілдеген қолмен толық тепе-теңдік тіпті суб-ойында толық болуы да қажет емес.

There are two possible ways of extending the definition of trembling hand perfection to extensive form games. One may interpret the extensive form as being merely a concise description of a normal form game and apply the concepts described above to this normal form game. In the resulting perturbed games, every strategy of the extensive form game must be played with non zero probability. This leads to the notion of a normal form trembling hand perfect equilibrium. Alternatively, one may recall that trembles are to be interpreted as modelling mistakes made by the players with some negligible probability when the game is played. Such a mistake would most likely consist of a player making another move than the one intended at some point during play. It would hardly consist of the player choosing another strategy than intended, i. e. a wrong plan for playing the entire game. To capture this, one may define the perturbed game by requiring that every move at every information set is taken with non zero probability. Limits of equilibria of such perturbed games as the tremble probabilities goes to zero are called extensive form trembling hand perfect equilibria. The notions of normal form and extensive form trembling hand perfect equilibria are incomparable, i. e., an equilibrium of an extensive form game may be normal form trembling hand perfect but not extensive form trembling hand perfect and vice versa. As an extreme example of this, Jean François Mertens has given an example of a two player extensive form game where no extensive form trembling hand perfect equilibrium is admissible, i. e., the sets of extensive form and normal form trembling hand perfect equilibria for this game are disjoint. An extensive form trembling hand perfect equilibrium is also a sequential equilibrium. A normal form trembling hand perfect equilibrium of an extensive form game may be sequential but is not necessarily so. In fact, a normal form trembling hand perfect equilibrium does not even have to be subgame perfect.

Кемелділікпен проблемалар

Майерсон (1978) кемелдік қатаң басымдық танытатын стратегияны қосуға осал екенін көрсетті және оның орнына дұрыс тепе-теңдік деп аталатын тағы бір жетілдіруді ұсынды.