Совершенное равновесие при "дрожащей руке" в теории игр.

Введение

Вариант равновесия Нэша в теории игр

В теории игр, совершенное равновесие при дрожащей руке — это тип уточнения равновесия Нэша, впервые предложенный Рейнхардом Зельтеном. Совершенное равновесие при дрожащей руке — это равновесие, которое учитывает возможность отклонения от равновесия, предполагая, что игроки, из-за "описки" или дрожи, могут случайно выбрать непреднамеренные стратегии, хотя и с пренебрежимо малой вероятностью.

Определение

Сначала определим возмущенную игру. Возмущенная игра – это копия базовой игры с ограничением, что допускается использование только полностью смешанных стратегий. Полностью смешанная стратегия – это смешанная стратегия, в которой каждая стратегия (как чистая, так и смешанная) играется с ненулевой вероятностью. Это "дрожащие руки" игроков; они иногда играют другую стратегию, нежели ту, которую планировали. Затем определим набор стратегий S (в базовой игре) как совершенный по трепещущим рукам, если существует последовательность возмущенных игр, сходящихся к базовой игре, в которой существует ряд равновесий Нэша, сходящихся к S.

Примечание: Все полностью смешанные равновесия Нэша являются совершенными. Примечание 2: Смешанное стратегическое расширение любой игры в нормальной форме с конечным числом стратегий имеет по крайней мере одно совершенное равновесие.

Равновесие двух игроков

Для игр 2x2 множество совершенных по дрожащей руке равновесий совпадает с множеством равновесий, состоящих из двух не доминируемых стратегий. В приведенном выше примере мы видим, что равновесие <Down,Right> является несовершенным, поскольку стратегия «Лево» (слабо) доминирует над стратегией «Право» для игрока 2, а стратегия «Вверх» (слабо) доминирует над стратегией «Вниз» для игрока 1.

Равновесие игр с обширной формой

Есть два возможных способа расширить определение совершенного равновесия при дрожащей руке на игры в расширенной форме. Можно интерпретировать расширенную форму как просто сжатое описание игры в нормальной форме и применить описанные выше концепции к этой игре в нормальной форме. В полученных в результате возмущенных играх каждая стратегия игры в расширенной форме должна играться с ненулевой вероятностью. Это приводит к понятию совершенного равновесия при дрожащей руке в нормальной форме. Альтернативно, можно вспомнить, что дрожание следует интерпретировать как моделирование ошибок, совершаемых игроками с пренебрежимо малой вероятностью во время игры. Такая ошибка, скорее всего, будет заключаться в том, что игрок сделает ход, отличный от запланированного, в какой-то момент игры. Вряд ли это будет заключаться в том, что игрок выберет другую стратегию, чем предполагалось, то есть неправильный план игры. Чтобы это учесть, можно определить возмущенную игру, требуя, чтобы каждый ход в каждом информационном множестве был сделан с ненулевой вероятностью. Пределы равновесий таких возмущенных игр при стремлении вероятностей дрожания к нулю называются совершенными равновесиями при дрожащей руке в расширенной форме. Понятия совершенного равновесия при дрожащей руке в нормальной и расширенной формах несравнимы, то есть равновесие игры в расширенной форме может быть совершенным при дрожащей руке в нормальной форме, но не совершенным при дрожащей руке в расширенной форме, и наоборот. В качестве крайнего примера Жан-Франсуа Мертенс привел пример двухсторонней игры в расширенной форме, в которой не существует допустимого совершенного равновесия при дрожащей руке в расширенной форме, то есть множества совершенных равновесий при дрожащей руке в расширенной и нормальной формах для этой игры не пересекаются. Совершенное равновесие при дрожащей руке в расширенной форме также является последовательным равновесием. Совершенное равновесие при дрожащей руке в нормальной форме игры в расширенной форме может быть последовательным, но необязательно. Фактически, совершенное равновесие при дрожащей руке в нормальной форме даже не обязательно должно быть совершенным подыграм.

There are two possible ways of extending the definition of trembling hand perfection to extensive form games. One may interpret the extensive form as being merely a concise description of a normal form game and apply the concepts described above to this normal form game. In the resulting perturbed games, every strategy of the extensive form game must be played with non zero probability. This leads to the notion of a normal form trembling hand perfect equilibrium. Alternatively, one may recall that trembles are to be interpreted as modelling mistakes made by the players with some negligible probability when the game is played. Such a mistake would most likely consist of a player making another move than the one intended at some point during play. It would hardly consist of the player choosing another strategy than intended, i. e. a wrong plan for playing the entire game. To capture this, one may define the perturbed game by requiring that every move at every information set is taken with non zero probability. Limits of equilibria of such perturbed games as the tremble probabilities goes to zero are called extensive form trembling hand perfect equilibria. The notions of normal form and extensive form trembling hand perfect equilibria are incomparable, i. e., an equilibrium of an extensive form game may be normal form trembling hand perfect but not extensive form trembling hand perfect and vice versa. As an extreme example of this, Jean François Mertens has given an example of a two player extensive form game where no extensive form trembling hand perfect equilibrium is admissible, i. e., the sets of extensive form and normal form trembling hand perfect equilibria for this game are disjoint. An extensive form trembling hand perfect equilibrium is also a sequential equilibrium. A normal form trembling hand perfect equilibrium of an extensive form game may be sequential but is not necessarily so. In fact, a normal form trembling hand perfect equilibrium does not even have to be subgame perfect.

Проблемы с совершенством

Майерсон (1978) указал на то, что совершенство чувствительно к добавлению строго доминируемой стратегии, и вместо этого предложил другое уточнение, известное как надлежащее равновесие.