Төрт еселік фермион дискретизациясы

Кіріспе

Төрт қосқышты фермионды дискреттеу. Желілік өріс теориясында, шашыраңқы фермиондар (Когот-Сускинд фермиондары деп те аталады) – фермиондардың қосқыштар санын он алтыдан төртке дейін азайтатын фермионды дискреттеу әдісі. Олар симуляциялар тұрғысынан ең жылдам тор фермиондарының бірі және қалдық хиральдық симметрия сияқты пайдалы қасиеттері бар, сондықтан олар тор QCD есептеулерінде кеңінен қолданылады. Шашыраңқы фермиондар алғаш рет Джон Когут пен Леонард Сускинд 1975 жылы ұсынған, ал кейіннен олар Дирак-Кейлер фермионының дискреттелген түрімен тең екені анықталды.

Спин-тасты негіз

Бір компонентті басқан фермион әрекеті төрт Дирак фермионын сипаттайтынын нақты көрсету үшін торды гиперкубтарға бөлуге және Грасман өрістерін он алты гиперкубтық нүктеде төрт фермионның он алты еркіндік дәрежесі ретінде қайта түсіндіру қажет. Бөлшек физикасындағы дәмділік ұғымына ұқсас, бұл төрт фермионды әртүрлі фермион «дәмі» деп атайды. Блокталған тор нүктелері арқылы индекстеледі, ал әрқайсысы үшін ішкі гиперкуб нүктелері арқылы индекстеледі, олардың векторлық компоненттері нөл немесе бір болады. Осы белгілеуде бастапқы тор векторы былай жазылады: . Матрицалар басқан фермиондардың спин-дәм негізін анықтау үшін қолданылады. Дәм индексі төрт дәмді, ал спин индексі төрт спин компонентін қамтиды. Бұл негізді өзгерту бір компоненттің тордағы арақашықтығымен әрекетін спин-дәм әрекетіне айналдырады, мұнда тиімді тор арақашықтығы берілген, ал симметриялық дискреттелген туынды және Лапласиан тиісінше қысқартылған. Осы жерде тензорлық белгілеу спин және дәм матрицаларын бөліп көрсетеді. Кинетикалық және массалық мүшелер дәм индекстері бойынша диагональды болғандықтан, әрекет төрт дегенерацияланған Дирак фермионын сипаттайды. Олар екінші мүше арқылы «дәмді араластыру әрекеттесуі» деп аталатын өзара әрекеттеседі, бұл континуум шегінде жоғалатын бес өлшемді оператор. Бұл әрекет төрт Вильсон фермионын қолдану арқылы құрастырылған әрекетке өте ұқсас, жалғыз айырмашылық екінші мүшенің тензорлық құрылымында, ол Вильсон фермиондары үшін спин және дәм бойынша диагональды болып табылады. Шашыраңқы фермиондардың Вильсон фермиондары сияқты басқа тор фермиондарымен ортақ емес маңызды қасиеті – олар массасыз шекте қалған хиральді симметрияға ие. Қалдық симметрия спин-дәм негізінде сипатталады. Бұл қалдық симметрияның болуы шашыраңқы фермиондарды белгілі бір қолданулар үшін, әсіресе спонтанды симметрия бұзуды және аномалияларды сипаттау үшін пайдалы етеді. Симметрия сонымен қатар массасыз фермиондарды ренормализация кезінде масса алудан қорғайды. Шашыраңқы фермиондар бір компонентті әрекетте, осы әрекетке байланысты өрістерді енгізу арқылы өлшегіш инвариантты етеді, дәл сол сияқты наив Дирак торлық әрекеті үшін жасалады. Бұл тәсілді тікелей спин-дәм әрекетінде жүзеге асыруға болмайды. Оның орнына өзара әрекеттесетін бір компонентті әрекетті, өлшегіш инварианттылығын қамтамасыз ету үшін гиперкубтың әртүрлі тор нүктелері арасында Вильсон сызықтары енгізілген өзгертілген спин-дәм негізімен бірге пайдалану керек. Нәтижесінде алынған әрекетті жабық түрде жазуға болмайды, бірақ оны тор аралықтарының қуатына дейін кеңейтуге болады, бұл төрт фермион үшін әдеттегі өзара әрекеттесетін Дирак әрекетіне және континуум шегінде жоғалатын маңызды емес фермиондық билинеарлық операторлардың шексіз қатарына әкеледі.

To explicitly show that the single component staggered fermion action describes four Dirac fermions requires blocking the lattice into hypercubes and reinterpreting the Grassmann fields at the sixteen hypercube sites as the sixteen degrees of freedom of the four fermions. In analogy to the usage of flavour in particle physics, these four fermions are referred to be different tastes of fermions. The blocked lattice sites are indexed by while for each of these the internal hypercube sites are indexed by , whose vector components are either zero or one. In this notation the original lattice vector is written as The matrices are used to define the spin taste basis of staggered fermions

The taste index runs over the four tastes while the spin index runs over the four spin components. This change of basis turns the one component action on the lattice with spacing into the spin taste action with an effective lattice spacing of given by

Here and are shorthand for the symmetrically discretized derivative and Laplacian, respectively. Meanwhile, the tensor notation separates out the spin and taste matrices as Since the kinetic and mass terms are diagonal in the taste indices, the action describes four degenerate Dirac fermions. These interact together in what are known as taste mixing interactions through the second term, which is an irrelevant dimension five operator that vanishes in the continuum limit. This action is very similar to the action constructed using four Wilson fermions with the only difference being in the second term tensor structure, which for Wilson fermions is spin and taste diagonal
A key property of staggered fermions, not shared by some other lattice fermions such as Wilson fermions, is that they have a remnant chiral symmetry in the massless limit. The remnant symmetry is described in the spin taste basis by

The presence of this remnant symmetry makes staggered fermions especially useful for certain applications since they can describe spontaneous symmetry breaking and anomalies. The symmetry also protects massless fermions from gaining a mass upon renormalization. Staggered fermions are gauged in the one component action by inserting link fields into the action to make it gauge invariant in the same way that this is done for the naive Dirac lattice action. This approach cannot be implemented in the spin taste action directly. Instead the interacting single component action must be used together with a modified spin taste basis where Wilson lines are inserted between the different lattice points within the hypercube to ensure gauge invariance. The resulting action cannot be expressed in a closed form but can be expended out in powers of the lattice spacing, leading to the usual interacting Dirac action for four fermions, together with an infinite series of irrelevant fermion bilinear operators that vanish in the continuum limit.

Момент кеңістігімен шашылған фермиондар

Стапкерлi фермиондар импульс кеңiстiгiнде де, бiр компоненттiк әрекеттi Фурье кеңiстiгiне түрлендiру және Бриллуан аймағын он алты блокқа бөлу арқылы құрастырылуы мүмкiн. Оларды нөлге жылдыру, Бриллуин аймағының жартысына дейiнгi моменттер диапазонымен жабатын, бiр компоненттi фермионның он алты көшiрмесiн бередi. Бұл көшiрмелер бiрлiк түрлендiру және импульс масштабтау арқылы матрицаға топтастырылуы мүмкiн, бұл импульстердiң толық Бриллуин диапазонында таралуын қамтамасыз етедi. Бұл, импульс кеңiстiк стапкерлi фермион әрекетiн бередi.

Бұл, керi Фурье түрлендiруi арқылы позициялық кеңiстiкке қайта түрлендiрiлуi мүмкiн. Айналымдық дәм әрекетiнен айырмашылығы, бұл әрекет дәм компоненттерiн араластырмайды, көрінетіндей, төрт фермионды толық бөлiп шығаратын әрекет бередi. Сондықтан оның толық хиральды симметрия тобы бар. Дегенмен, бұл тек жергiлiктiлiктiң есебiнен ғана мүмкiн, онда позициялық кеңiстiктегi Дирак операторы гиперкубпен шектелгенiнен гөрi, кез келген қашықтықта орналасқан тор нүктелерiн байланыстырады. Бұл тұжырым, Бриллуин аймағының шеттерiнде үзiлiс көрсететiн таралымда да көрiнедi. Импульс және позиция кеңiстiк формулаларының айырмашылығы, олардың дәмдiң әртүрлi анықтамаларын қолдануында, олардың арасында импульс кеңiстiк анықтамасы позиция кеңiстiк жергiлiктi анықтамасына сәйкес келмейдi. Бұл екі анықтама континуум шегiнде ғана теңдеседi. Хиральды симметрия, жалғыз импульс кеңiстiк фермионын модельдеу мүмкiн болса да сақталады, себебi жергiлiктiлiк Нильсен–Ниномия теоремасының, теорияда фермионның екі еселенуiн анықтайтын болжамдарының бiрi болды. Жергiлiктiлiктiң жоғалуы осы формуланы модельдеуде қолдануды қиындатады.

Қимылсыз фермионды симуляциялау

Таңбаланған фермиондарды модельдеудегі басты мәселе – әртүрлі дәмдердің дәм араласу мүшесіне байланысты араласуы. Егер дәмдер араласқанда, торлы модельдеу әртүрлі дәмдердің әртүрлі үлестерін оңай ажыратып, жалғыз фермионға қатысты процестердің нәтижелерін алуға болар еді. Бірақ дәм араласуы есепке алу қиын дискреттеу қателіктерін енгізеді. Бастапқыда осы дискреттеу қателіктері, реттік , басқа торлы фермиондармен салыстырғанда тым үлкен болды, бұл таңбаланған фермиондарды модельдеу үшін азырақ танымал етті. Бұл қателіктерді азайтудың басты жолы – Symanzik жақсартуын қолдану, оған сәйкес емес операторлар дискреттеу қателіктерін жою үшін коэффициенттері дәл реттелген түрде әрекетке қосылады. Мұндай әрекеттің біріншісі ASQTAD әрекеті болды, ол бір циклдік дәм алмасу өзара әрекеттесуін талдағаннан кейін, байланыс өрісін жұмсарту арқылы қателіктерді одан әрі азайту үшін жақсартылды. Бұл жоғары жақсартылған шақталған кварк (HISQ) әрекетіне әкелді және ол қазіргі заманғы таңбаланған фермиондарды модельдеудің негізін құрайды. Модельдеу жалғыз компоненттік әрекетті пайдаланатындықтан, таңбаланған фермиондарды модельдеу өте жылдам, себебі бұл төрт компонентті спинорлардың орнына тек жалғыз компонентті Грассман айнымалыларын модельдеуді қажет етеді. Таңбаланған фермиондар үшін қолданылатын басты код және өлшегіш жиынтығы MILC ынтымақтастығынан алынған. Таңбаланған фермиондардың кейбір басқа торлы фермиондарға қарағандағы артықшылығы – қалған хиральдық симметрия модельдеуді ерекше конфигурациялардан қорғайды, олар Дирак операторының кішкентай өзіндік мәндеріне әкелетін өлшегіш өрістің конфигурациялары, сандық инверсияны қиындатады. Таңбаланған фермиондар осыдан қорғалады, өйткені олардың Дирак операторы антигермитиялық, сондықтан оның өзіндік мәндері нақты үшін кешенді жұптар түрінде келеді. Бұл Дирак детерминантының нөлдік емес массалар үшін нақты және оң болатынын қамтамасыз етеді. Марков тізбегі Монте-Карло модельдеуі кезінде теріс немесе жорамал детерминанттар проблема тудырады, себебі детерминант ықтималдық салмағында болады.

The main issue with simulating staggered fermions is that the different tastes mix together due to the taste mixing term. If there was no mixing between tastes, lattice simulations could easily untangle the different contributions from the different tastes to end up with the results for processes involving a single fermion. Instead the taste mixing introduces discretization errors that are hard to account for. Initially these discretization errors, of order , were unusually large compared to other lattice fermions, making staggered fermions unpopular for simulations. The main method to reduce these errors is to perform Symanzik improvement, whereby irrelevant operators are added to the action with their coefficients fine tuned to cancel discretization errors. The first such action was the ASQTAD action, with this being improved after analyzing one loop taste exchange interactions to further eliminate errors using link field smearing. This resulted in the highly improved staggered quark (HISQ) action and it forms the basis of modern staggered fermion simulations. Since simulations are done using the single component action, simulating staggered fermions is very fast as this requires simulating only single component Grassmann variables rather than four component spinors. The main code and gauge ensembles used for staggered fermions comes from the MILC collaboration. An advantage of staggered fermions over some other lattice fermions in that the remnant chiral symmetry protects simulations from exceptional configurations, which are gauge field configurations that lead to small eigenvalues of the Dirac operator, making numerical inversion difficult. Staggered fermions are protected from this because their Dirac operator is anti hermitian, so its eigenvalues come in complex conjugate pairs for real This ensures that the Dirac determinant is real and positive for non zero masses. Negative or imaginary determinants are problematic during Markov chain Monte Carlo simulations as the determinant is present in the probability weight.

Төртінші түбірлік амал

Континуум шегінде қиылысқан фермион Дирак операторы төрт еселенген континуум Дирак операторына дейін тобыққанда, оның өзіндік мәндері төрт есе дегенеративті болады. Сондықтан, бұл дегенерация нөлдік емес тор аралықтарында дәм араласу арқылы бұзылады, бірақ симуляциялар көрсеткендей, өзіндік мәндер әлі де шамамен төрттік топтарда жинақталады. Бұл, бөлшек функциясында қисайтылған Дирак операторының детерминантын төртінші түбірімен алмастыру арқылы бір фермионды модельдеуге мүмкіндік беретін «төртінші түбірлік тәсілді» қажет етеді.

Нәтижесінде алынған фермион «тамырланған қиылысқан фермион» деп аталады және ол көптеген қиылысқан фермиондарды модельдеулерде, соның ішінде MILC ынтымақтастығында қолданылады. Тамырланған қиылысқан фермиондарды қолданудағы теориялық мәселе – олардың континуум шегін дұрыс беретініне қатысты нақтылықтың болмауы, яғни тамырлау теорияның әмбебаптық класын өзгерте ме? Егер олай болса, тамырланған қиылысқан фермиондар континуумдық өріс теориясын сипаттауда тиімді дегенге себеп жоқ. Әмбебаптық класы, әдетте теорияның өлшемділігімен және оның қандай симметрияларды қанағаттандыруымен анықталады. Тамырланған қиылысқан фермиондармен байланысты мәселе – оларды әмбебаптық жіктемеге енгізілмейтін, жергілікті емес әрекет арқылы ғана сипаттауға болады. Жергілікті емес болу бірліктің бұзылуын білдіргендіктен, тамырланған қиылысқан фермиондар нөлдік емес тор аралықтарында физикалық емес болып табылады, бірақ бұл мәселе континуумда жергілікті емес болу жойылған жағдайда туындамайды. Орынды болжамдарға сүйенсек, төртінші түбірлік тәсіл барлық тәртіптегі бұзылыстарда дұрыс мөлшерде жеңіл кварктары бар жергілікті, бірлік теориясын қайта жасайтын қайта нормаланатын теорияны анықтайды. Бұл бұзылыссыз жағдайда да дұрыс бола ма деген сұрақ әлі де ашық. Дегенмен, теориялық аргументтер және басқа торлы фермиондармен сандық салыстырулар тамырланған қиылысқан фермиондардың дұрыс әмбебаптық класына жататынын көрсетеді.