Введение

Дискретизация фермионов с четырьмя удвоениями

В теории решетчатых полей, фермионы со сдвигом (также известные как фермионы Когута — Сасскинда) представляют собой дискретизацию фермионов, которая уменьшает количество удвоений фермионов с шестнадцати до четырех. Они одни из самых быстрых фермионов на решетке при проведении численных расчетов и обладают рядом полезных свойств, таких как остаточная хиральная симметрия, что делает их очень популярными в расчетах решетчатой КХД. Фермионы со сдвигом были впервые сформулированы Джоном Когутом и Леонардом Сасскиндом в 1975 году, а позже было обнаружено, что они эквивалентны дискретизированной версии фермиона Дирака — Келера.

Основа для приготовления спин-дегустации

Чтобы явно показать, что однокомпонентное сдвинутое фермионное действие описывает четыре фермиона Дирака, необходимо блокировать решетку в гиперкубы и переинтерпретировать поля Грассмана в шестнадцати гиперкубических точках как шестнадцать степеней свободы четырех фермионов. По аналогии с использованием аромата в физике частиц, эти четыре фермиона называют различными «вкусами» фермионов. Заблокированные участки решетки индексируются , а для каждого из них внутренние участки гиперкуба индексируются , чьи векторные компоненты равны нулю или единице. В этой нотации исходный вектор решетки записывается как Матрицы используются для определения спин-вкусовой базы сдвинутых фермионов. Индекс вкуса пробегает четыре вкуса, а индекс спина – четыре спиновые компоненты. Это изменение базы преобразует однокомпонентное действие на решетке с шагом в спин-вкусовое действие с эффективным шагом решетки, заданным Здесь и являются сокращениями для симметрично дискретизированной производной и лапласиана соответственно. Тем временем тензорная нотация разделяет спиновые и вкусовые матрицы как Поскольку кинетические и массовые члены диагональны по вкусовым индексам, действие описывает четыре вырожденных фермиона Дирака. Они взаимодействуют друг с другом посредством так называемых взаимодействий смешивания вкусов через второй член, который является несущественным оператором пятого порядка, исчезающим в пределе континуума. Это действие очень похоже на действие, построенное с использованием четырех фермионов Уилсона, единственное отличие заключается в тензорной структуре второго члена, которая для фермионов Уилсона является спиновой и вкусовой диагональю. Ключевое свойство сдвинутых фермионов, не разделяемое некоторыми другими решетчатыми фермионами, такими как фермионы Уилсона, заключается в том, что они обладают остаточной хиральной симметрией в безмассовом пределе. Остаточная симметрия описывается в спин-вкусовой базе следующим образом: Наличие этой остаточной симметрии делает сдвинутые фермионы особенно полезными для определенных приложений, поскольку они могут описывать спонтанное нарушение симметрии и аномалии. Симметрия также защищает безмассовые фермионы от приобретения массы при перенормировке. Сдвинутые фермионы калибруются в однокомпонентном действии путем вставки полей связи в действие, чтобы сделать его калибровочно-инвариантным тем же способом, что и для наивного решетчатого действия Дирака. Этот подход нельзя непосредственно реализовать в спин-вкусовом действии. Вместо этого необходимо использовать взаимодействующее однокомпонентное действие вместе с модифицированной спин-вкусовой базой , где линии Уилсона вставляются между различными точками решетки внутри гиперкуба для обеспечения калибровочной инвариантности. Полученное действие нельзя выразить в замкнутой форме, но его можно разложить в ряд по степеням шага решетки, что приводит к обычному взаимодействующему действию Дирака для четырех фермионов вместе с бесконечным рядом несущественных фермионных билинейных операторов, исчезающих в пределе континуума.

Фермионы с разбросом импульса

Постепенно расходящиеся фермионы также могут быть сформулированы в импульсном пространстве путем преобразования действия одной компоненты в пространство Фурье и разделения зоны Бриллюана на шестнадцать блоков. Сдвиг этих блоков к началу координат дает шестнадцать копий однокомпонентного фермиона, импульсы которых охватывают половину диапазона зоны Бриллюана. Эти копии можно сгруппировать в матрицу, которая после унитарного преобразования и перемасштабирования импульсов, обеспечивающего охват импульсами всего диапазона зоны Бриллюана, приводит к действию для постепенно расходящихся фермионов в импульсном пространстве. Это действие можно преобразовать обратно в координатное пространство с помощью обратного преобразования Фурье. В отличие от действия спин-вкуса, это действие не смешивает вкусовые компоненты, что создает впечатление полного разделения четырех фермионов. Следовательно, оно обладает полной хиральной группой симметрии. Однако это достигается ценой локальности: оператор Дирака в координатном пространстве теперь соединяет точки решетки, находящиеся на произвольно большом расстоянии друг от друга, а не ограничивается гиперкубом. Это также проявляется в пропагаторе, который имеет разрыв на границах зоны Бриллюана. Формулировки в импульсном и координатном пространствах различаются из-за различного определения вкуса, при котором определение в импульсном пространстве не соответствует локальному определению в координатном пространстве. Эти два определения становятся эквивалентными только в пределе континуума. Хиральная симметрия сохраняется, несмотря на возможность моделирования одного фермиона в импульсном пространстве, поскольку локальность была одним из предположений теоремы Нильсена — Ниномии, определяющей, возникает ли в теории удвоение фермионов. Потеря локальности затрудняет использование этой формулировки для численных расчетов.

Симуляция перемещенных фермионов

Основная проблема при моделировании сдвинутых фермионов заключается в том, что различные «ароматы» смешиваются из-за члена смешивания ароматов. Если бы смешивания ароматов не было, решётчатое моделирование могло бы легко разделить различные вклады от разных ароматов, чтобы получить результаты для процессов, включающих один фермион. Вместо этого смешивание ароматов вносит ошибки дискретизации, которые трудно учесть. Изначально эти ошибки дискретизации, порядка , были необычно велики по сравнению с другими решётчатыми фермионами, что делало сдвинутые фермионы непопулярными для моделирования. Основным методом уменьшения этих ошибок является улучшение Сайманзика, при котором в действие добавляются несущественные операторы с коэффициентами, точно настроенными для компенсации ошибок дискретизации. Первым таким действием было действие ASQTAD, которое было улучшено после анализа взаимодействий обмена ароматами на одном цикле для дальнейшего устранения ошибок с использованием размытия полей связей. Это привело к значительно улучшенному действию сдвинутых кварков (HISQ), которое является основой современных сдвинутых фермионных симуляций. Поскольку моделирование выполняется с использованием однокомпонентного действия, моделирование сдвинутых фермионов очень быстро, так как требует моделирования только однокомпонентных переменных Грассмана, а не четырехкомпонентных спиноров. Основные коды и ансамбли калибровочных полей, используемые для сдвинутых фермионов, получены в сотрудничестве MILC. Преимущество сдвинутых фермионов перед некоторыми другими решётчатыми фермионами заключается в том, что остаточная хиральная симметрия защищает моделирование от исключительных конфигураций, которые представляют собой конфигурации калибровочного поля, приводящие к малым собственным значениям оператора Дирака, что затрудняет численное обращение. Сдвинутые фермионы защищены от этого, поскольку их оператор Дирака является антиэрмитовым, поэтому его собственные значения приходят в парах комплексных сопряжений для вещественных чисел. Это гарантирует, что определитель Дирака является вещественным и положительным при ненулевых массах. Отрицательные или мнимые определители являются проблематичными во время моделирования Монте-Карло методом Маркова, поскольку определитель присутствует в вероятностном весе.

Четвертый корень трюка

В пределе континуума оператор Дирака со стягивающимися фермионами сводится к четырехкратному оператору Дирака в континууме, поэтому его собственные значения четырехкратно вырождены. Эта вырожденность снимается смешиванием вкусов при ненулевых расстояниях между точками решетки, хотя результаты моделирования показывают, что собственные значения все еще приблизительно группируются по четыре. Это мотивирует прием с четвертым корнем, при котором один фермион моделируется заменой определителя оператора Дирака со стягивающимися фермионами на его четвертый корень в функционале распределения.

Полученный фермион называется фермионом со стягивающимися фермионами, и он используется в большинстве симуляций со стягивающимися фермионами, в том числе коллаборацией MILC. Теоретическая проблема использования фермионов со стягивающимися фермионами заключается в том, что неясно, дают ли они правильный предел континуума, то есть, изменяет ли процедура взятия корня класс универсальности теории. Если это так, то нет оснований полагать, что фермионы со стягивающимися фермионами хорошо описывают теорию поля в континууме. Класс универсальности обычно определяется размерностью теории и симметриями, которым она удовлетворяет. Проблема с фермионами со стягивающимися фермионами заключается в том, что их можно описать только нелокальным действием, для которого классификация по классам универсальности больше не применима. Поскольку нелокальность подразумевает нарушение унитарности, фермионы со стягивающимися фермионами также нефизичны при ненулевых расстояниях между точками решетки, хотя это не является проблемой, если нелокальность исчезает в пределе континуума. Было показано, что при разумных предположениях прием с четвертым корнем определяет ренормируемую теорию, которая во всех порядках теории возмущений воспроизводит локальную унитарную теорию с правильным числом легких кварков в континууме. Остается открытым вопрос, справедливо ли это и вне области применимости теории возмущений. Однако теоретические аргументы и численные сравнения с другими решетчатыми фермионами указывают на то, что фермионы со стягивающимися фермионами действительно принадлежат к правильному классу универсальности.