Born қатаңдығы: Арнайы салыстырмалылықтағы денелердің қозғалысы
Born rigidity
Арнайы салыстырмалылықтағы Born қатаңдығы – классикалық механикадағы қатаң денеге сәйкес келетін ұғым. Гиперболалық қозғалыс, Herglotz–Noether теоремасы туралы біліңіз.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Туылған қатаңдығы – арнайы салыстырмалылық теориясындағы түсінік. Бұл, арнайы салыстырмалылық теориясында, салыстырмалы емес классикалық механиканың қатаң денесіне сәйкес келетін нәрсе туралы сұраққа берілген жауаптардың бірі. Бұл түсінікті Макс Борн (1909) енгізді, ол тұрақты дұрыс үдеу жағдайын егжей-тегжейлі сипаттап, оны гиперболалық қозғалыс деп атады. Пауль Эренфест (1909) сияқты кейінгі авторлар айналма қозғалыстарды да қосуға тырысқанда, Борн қатаңдығының қатаңдық тұжырымының өте шектеулі екені анық болды, бұл Герглотц-Нотер теоремасына алып келді, оған сәйкес айналма Борн қатаң қозғалыстарына қатысты қатаң шектеулер бар. Оны Густав Герглотц (1909, айналма қозғалыстардың барлық түрлерін жіктеген) және Фриц Нотер (1909) кем жалпылама түрде тұжырымдады. Соның нәтижесінде Борн (1910) және басқалар қатаңдыққа қатысты баламалы, аз шектеулі анықтамалар берді.
Born rigidity is a concept in special relativity. It is one answer to the question of what, in special relativity, corresponds to the rigid body of non relativistic classical mechanics. The concept was introduced by Max Born (1909), who gave a detailed description of the case of constant proper acceleration which he called hyperbolic motion. When subsequent authors such as Paul Ehrenfest (1909) tried to incorporate rotational motions as well, it became clear that Born rigidity is a very restrictive sense of rigidity, leading to the Herglotz–Noether theorem, according to which there are severe restrictions on rotational Born rigid motions. It was formulated by Gustav Herglotz (1909, who classified all forms of rotational motions) and in a less general way by Fritz Noether (1909). As a result, Born (1910) and others gave alternative, less restrictive definitions of rigidity.
Анықтама
Туған қаттылығы, егер шексіз жақын қисықтар немесе әлемдік сызықтар арасындағы ортогональдық кеңістік-уақыт қашықтығы тұрақты болса, орындалады. Туған қаттылығы – кеңейтілген дененің қозғалысына күштерді дененің әртүрлі бөліктеріне сақтықпен қолдану арқылы қол жеткізілетін шектеу. Өзінен-өзі қатаң дене арнайы салыстырмалылық теориясын бұзады, себебі оның дыбыс жылдамдығы шексіз болар еді. Барлық мүмкін Туған қатты қозғалыстарын Герглотц-Нотер теоремасы арқылы жіктеуге болады. Бұл теоремаға сәйкес, барлық ирротациялық Туған қатты қозғалыстар (А класы) кеңістік-уақытта қатаң түрде жылжып отыратын гипержазықтықтардан тұрады, ал кез келген ротациялық Туған қатты қозғалыс (В класы) изометриялық Киллинг қозғалысы болуы керек. Бұл Туған қатты денесінің тек үш еркіндік дәрежесіне ие екенін көрсетеді. Осылайша, дене тыныш күйден кез келген түзусызық қозғалысқа келтірілуі мүмкін, бірақ тыныш күйден айналу қозғалысына келтірілуі мүмкін емес.
Born rigidity is satisfied if the orthogonal spacetime distance between infinitesimally separated curves or worldlines is constant, Born rigidity is a constraint on the motion of an extended body, achieved by careful application of forces to different parts of the body. A body rigid in itself would violate special relativity, as its speed of sound would be infinite. A classification of all possible Born rigid motions can be obtained using the Herglotz–Noether theorem. This theorem states that all irrotational Born rigid motions (class A) consist of hyperplanes rigidly moving through spacetime, while any rotational Born rigid motion (class B) must be an isometric Killing motion. This implies that a Born rigid body only has three degrees of freedom. Thus a body can be brought in a Born rigid way from rest into any translational motion, but it cannot be brought in a Born rigid way from rest into rotational motion.
Қысым мен табиғи қатаю
Герглоц (1911) релятивистік серпімділік теориясының борондық қатаңдықтың бұзылуы жағдайында кернеулер туындайды деген болжамға негізделуі мүмкін екенін көрсетті. Борн қатаңдығын бұзудың мысалы – Эренфест парадоксы: Дене біркелкі дөңгелек қозғалысы күйі В класындағы рұқсат етілген борондық қатаң қозғалыстардың қатарына жатса да, дене басқа қозғалыс күйінен біркелкі дөңгелек қозғалысқа ауысуы мүмкін емес, себебі әртүрлі үдеулерге ұшыраған кезде борондық қатаңдық шарты бұзылады. Бірақ егер бұл фаза аяқталғаннан кейін центростремителдік үдеу тұрақты болса, дене борондық қатаңдыққа сәйкес біркелкі айналуы мүмкін. Сол сияқты, егер дене бірқалыпты дөңгелек қозғалыста болса, осы күйді дененің борондық қатаңдығын бұзбай өзгертуге болмайды. Тағы бір мысал – Беллдің ғарыш кемесі парадоксы: Егер дененің ұштары тура сызықты бағытта тұрақты меншікті үдеумен үдетілсе, онда алдыңғы ұшының меншікті үдеуі дененің меншікті ұзындығын тұрақты ұстау үшін төмен болуы керек, осылайша борондық қатаңдық сақталады. Сондай-ақ, ол сыртқы инерциялық жүйеде Лоренц жиырылуының өсуін көрсетеді, яғни сыртқы жүйеде дененің ұштары бір уақытта үдетілмейді. Дегенмен, егер дененің ұштары сыртқы инерциялық жүйеде байқалатындай бірдей меншікті үдеумен бір уақытта үдетілетін басқа үдеу профилі таңдалса, оның борондық қатаңдығы бұзылады, өйткені сыртқы жүйедегі тұрақты ұзындық, бірмезгілділіктің салыстырмалылығына байланысты, қозғалыстағы жүйеде меншікті ұзындықтың өсуін білдіреді. Бұл жағдайда екі ракета арасында созылған жұқа жіп кернеуге ұшырайды (бұл Герглоц–Дэван–Беран кернеулері деп аталады) – Жорж Лематр (1924), Адриан Фокер (1940), Джордж Салзман және Абрахам Х. Тауб (1954). Герглоц үздіксіз ортаның қатты дене ретінде қозғалатынын көрсетті, егер оның нүктелерінің әлемдік сызықтары бір-бірінен тең қашықтықтағы қисықтар болса. Нәтижедегі әлемдік сызықтарды екі классқа бөлуге болады:
It was shown by Herglotz (1911), that a relativistic theory of elasticity can be based on the assumption, that stresses arise when the condition of Born rigidity is broken. An example of breaking Born rigidity is the Ehrenfest paradox: Even though the state of uniform circular motion of a body is among the allowed Born rigid motions of class B, a body cannot be brought from any other state of motion into uniform circular motion without breaking the condition of Born rigidity during the phase in which the body undergoes various accelerations. But if this phase is over and the centripetal acceleration becomes constant, the body can be uniformly rotating in agreement with Born rigidity. Likewise, if it is now in uniform circular motion, this state cannot be changed without again breaking the Born rigidity of the body. Another example is Bell's spaceship paradox: If the endpoints of a body are accelerated with constant proper accelerations in rectilinear direction, then the leading endpoint must have a lower proper acceleration in order to leave the proper length constant so that Born rigidity is satisfied. It will also exhibit an increasing Lorentz contraction in an external inertial frame, that is, in the external frame the endpoints of the body are not accelerating simultaneously. However, if a different acceleration profile is chosen by which the endpoints of the body are simultaneously accelerated with same proper acceleration as seen in the external inertial frame, its Born rigidity will be broken, because constant length in the external frame implies increasing proper length in a comoving frame due to relativity of simultaneity. In this case, a fragile thread spanned between two rockets will experience stresses (which are called Herglotz–Dewan–Beran stresses Georges Lemaître (1924), Adriaan Fokker (1940), George Salzmann & Abraham H. Taub (1954). Herglotz pointed out that a continuum is moving as a rigid body when the world lines of its points are equidistant curves in The resulting worldliness can be split into two classes:
Жалпы салыстырмалылық теориясы
Борн қатқылдығы тұжырымдамасын жалпы салыстырмалылық теориясына кеңейтуге Сальцман мен Тауб (1954), Пирани мен Уильямс (1962) әрекеттенді. Герглоц–Нётер теоремасы толыққанды орындалмағандығы көрсетілді, себебі изометриялық Киллинг қозғалыстарын білдірмейтін қатаң айналатын кадрлар немесе конгруэнциялар болуы мүмкін. "Кеңістікті толтыратын нүктелер жиынының тарихынан" тұратын қалыпты Борн қатты конгруэнциясынан өзгеше, олар квазилокалды қатты шеңберді пайдаланып, конгруэнцияны "кеңістіктік көлемді шектейтін бетіндегі нүктелер жиынының тарихы" арқылы анықтап, классикалық механиканың алты еркіндік дәрежесін қайта қалпына келтіреді.
Attempts to extend the concept of Born rigidity to general relativity have been made by Salzmann & Taub (1954), Pirani & Williams (1962), It was shown that the Herglotz–Noether theorem is not completely satisfied, because rigid rotating frames or congruences are possible which do not represent isometric Killing motions. In contrast to the ordinary Born rigid congruence consisting of the "history of a spatial volume filling set of points", they recover the six degrees of freedom of classical mechanics by using a quasilocal rigid frame by defining a congruence in terms of the "history of the set of points on the surface bounding a spatial volume".