Введение
Рожденная жесткость – это концепция в специальной теории относительности. Она является одним из ответов на вопрос о том, что в специальной теории относительности соответствует понятию жесткого тела в нерелятивистской классической механике. Концепция была введена Максом Борном (1909), который дал подробное описание случая постоянного собственного ускорения, назвав его гиперболическим движением. Когда последующие авторы, такие как Поль Эренфест (1909), попытались включить также вращательные движения, стало ясно, что рожденная жесткость представляет собой очень ограничивающее понимание жесткости, что привело к теореме Герглоца — Нётера, согласно которой на вращательные движения, сохраняющие рожденную жесткость, накладываются серьезные ограничения. Теорема была сформулирована Густавом Герглоцем (1909, который классифицировал все формы вращательных движений) и, в менее общем виде, Фрицем Нётером (1909). В результате Борн (1910) и другие предложили альтернативные, менее ограничивающие определения жесткости.
Определение
Врожденная жесткость выполняется, если ортогональное пространственно-временное расстояние между бесконечно близкими кривыми или мировыми линиями постоянно. Врожденная жесткость – это ограничение на движение протяженного тела, достигаемое посредством аккуратного приложения сил к разным его частям. Тело, жесткое само по себе, нарушило бы специальную теорию относительности, так как скорость звука в нем была бы бесконечной. Классификацию всех возможных движений с врожденной жесткостью можно получить, используя теорему Герглоца — Нётера. Эта теорема утверждает, что все ирротационные движения с врожденной жесткостью (класс А) состоят из гиперплоскостей, жестко перемещающихся в пространстве-времени, а любое вращательное движение с врожденной жесткостью (класс В) должно быть изметрическим движением Киллинга. Это подразумевает, что у тела с врожденной жесткостью всего три степени свободы. Следовательно, тело можно привести из состояния покоя в любое поступательное движение, сохраняя врожденную жесткость, но невозможно привести из состояния покоя во вращательное движение, сохраняя врожденную жесткость.
Напряжение и врожденная жесткость
Герглоц (1911) показал, что релятивистская теория упругости может основываться на предположении, что напряжения возникают при нарушении условия жесткости Борна. Примером нарушения жесткости Борна является парадокс Эренфеста: даже если состояние равномерного кругового движения тела относится к допустимым жестким движениям Борна класса B, тело нельзя привести из любого другого состояния движения в равномерное круговое движение без нарушения условия жесткости Борна на фазе, когда тело подвергается различным ускорениям. Но если эта фаза завершена и центростремительное ускорение становится постоянным, тело может равномерно вращаться в соответствии с жесткостью Борна. Аналогично, если тело теперь находится в равномерном круговом движении, это состояние нельзя изменить, не нарушив вновь жесткость Борна. Другой пример – парадокс космического корабля Белла: если концы тела ускоряются с постоянными собственными ускорениями в прямолинейном направлении, то передний конец должен иметь меньшее собственное ускорение, чтобы сохранить собственную длину постоянной и удовлетворить жесткости Борна. Он также будет демонстрировать возрастающее сжатие Лоренца во внешней инерциальной системе отсчета, то есть во внешней системе отсчета концы тела не ускоряются одновременно. Однако, если выбрать иной профиль ускорения, при котором концы тела одновременно ускоряются с тем же собственным ускорением, как это видно во внешней инерциальной системе отсчета, его жесткость Борна будет нарушена, поскольку постоянная длина во внешней системе отсчета подразумевает возрастание собственной длины в сопутствующей системе отсчета из-за относительности одновременности. В этом случае хрупкая нить, натянутая между двумя ракетами, будет испытывать напряжения (которые называются напряжениями Герглоца–Девана–Берана, отмечавшимися Жоржем Леметром (1924), Адрианом Фоккером (1940), Джорджем Зальцманом и Абрахамом Таубом (1954)). Герглоц указал, что континуум движется как жесткое тело, когда мировые линии его точек являются равноотстоящими кривыми в. Получающаяся мировые линии могут быть разделены на два класса:
Общая теория относительности
Попытки расширить концепцию жесткости Борна на общую теорию относительности были предприняты Salzmann & Taub (1954) и Pirani & Williams (1962). Было показано, что теорема Герглоца — Нётер не выполняется полностью, поскольку существуют жесткие вращающиеся системы отсчета или конгруэнции, которые не соответствуют изметрическим движениям Киллинга. В отличие от обычной конгруэнции Борна, состоящей из «истории пространственного объема, заполненного множеством точек», они восстанавливают шесть степеней свободы классической механики, используя квазилокальную жесткую систему отсчета, определяя конгруэнцию как «историю множества точек на поверхности, ограничивающей пространственный объем».