Кіріспе
Сызықтық түрлендірулер отбасы
In physics, the Lorentz transformations are a six parameter family of linear transformations from a coordinate frame in spacetime to another frame that moves at a constant velocity relative to the former. The respective inverse transformation is then parameterized by the negative of this velocity. The transformations are named after the Dutch physicist Hendrik Lorentz. The most common form of the transformation, parametrized by the real constant representing a velocity confined to the x direction, is expressed as
where (t, x, y, z) and (t′, x′, y′, z′) are the coordinates of an event in two frames with the origins coinciding at t=t′=0, where the primed frame is seen from the unprimed frame as moving with speed v along the x axis, where c is the speed of light, and is the Lorentz factor. When speed v is much smaller than c, the Lorentz factor is negligibly different from 1, but as v approaches c, grows without bound. The value of v must be smaller than c for the transformation to make sense. Expressing the speed as an equivalent form of the transformation is
Frames of reference can be divided into two groups: inertial (relative motion with constant velocity) and non inertial (accelerating, moving in curved paths, rotational motion with constant angular velocity, etc.). The term "Lorentz transformations" only refers to transformations between inertial frames, usually in the context of special relativity. In each reference frame, an observer can use a local coordinate system (usually Cartesian coordinates in this context) to measure lengths, and a clock to measure time intervals. An event is something that happens at a point in space at an instant of time, or more formally a point in spacetime. The transformations connect the space and time coordinates of an event as measured by an observer in each frame. They supersede the Galilean transformation of Newtonian physics, which assumes an absolute space and time (see Galilean relativity). The Galilean transformation is a good approximation only at relative speeds much less than the speed of light. Lorentz transformations have a number of unintuitive features that do not appear in Galilean transformations. For example, they reflect the fact that observers moving at different velocities may measure different distances, elapsed times, and even different orderings of events, but always such that the speed of light is the same in all inertial reference frames. The invariance of light speed is one of the postulates of special relativity. Historically, the transformations were the result of attempts by Lorentz and others to explain how the speed of light was observed to be independent of the reference frame, and to understand the symmetries of the laws of electromagnetism. The transformations later became a cornerstone for special relativity. The Lorentz transformation is a linear transformation. It may include a rotation of space; a rotation free Lorentz transformation is called a Lorentz boost. In Minkowski space—the mathematical model of spacetime in special relativity—the Lorentz transformations preserve the spacetime interval between any two events. This property is the defining property of a Lorentz transformation. They describe only the transformations in which the spacetime event at the origin is left fixed. They can be considered as a hyperbolic rotation of Minkowski space. The more general set of transformations that also includes translations is known as the Poincaré group.
Физикада Лоренц түрлендірулері – уақыт-кеңістіктегі координаттық жүйеден екінші жүйеге, бұрынғысына қатысты тұрақты жылдамдықпен қозғалатын алты параметрлі сызықтық түрлендірулер отбасы. Кері түрлендіру осы жылдамдықтың теріс мәнімен параметрленеді. Түрлендірулер голланд физигі Хендрик Лоренцтің құрметіне аталған. Түрлендірудің ең көп қолданылатын түрі, x бағытына шектелген жылдамдықты білдіретін нақты тұрақтымен параметрленеді, мұнда (t, x, y, z) және (t′, x′, y′, z′) – t=t′=0 сәтте сәйкес келетін екі жүйедегі оқиғаның координаттары, ал штрихталған жүйе штрихталмаған жүйеден x осьті бойлай v жылдамдықпен қозғалып келеді, мұнда c – жарық жылдамдығы, ал γ – Лоренц факторы. Егер v жылдамдығы c-ден әлдеқайда кіші болса, Лоренц факторы 1-ге жақын болады, бірақ v c-ге жақындағанда γ шексіз өседі. Түрлендірудің дұрыс болуы үшін v мәні c-ден кіші болуы керек. Жылдамдықтың эквивалентті түрінде түрлендіру мынадай жазылады:
In physics, the Lorentz transformations are a six parameter family of linear transformations from a coordinate frame in spacetime to another frame that moves at a constant velocity relative to the former. The respective inverse transformation is then parameterized by the negative of this velocity. The transformations are named after the Dutch physicist Hendrik Lorentz. The most common form of the transformation, parametrized by the real constant representing a velocity confined to the x direction, is expressed as
where (t, x, y, z) and (t′, x′, y′, z′) are the coordinates of an event in two frames with the origins coinciding at t=t′=0, where the primed frame is seen from the unprimed frame as moving with speed v along the x axis, where c is the speed of light, and is the Lorentz factor. When speed v is much smaller than c, the Lorentz factor is negligibly different from 1, but as v approaches c, grows without bound. The value of v must be smaller than c for the transformation to make sense. Expressing the speed as an equivalent form of the transformation is
Frames of reference can be divided into two groups: inertial (relative motion with constant velocity) and non inertial (accelerating, moving in curved paths, rotational motion with constant angular velocity, etc.). The term "Lorentz transformations" only refers to transformations between inertial frames, usually in the context of special relativity. In each reference frame, an observer can use a local coordinate system (usually Cartesian coordinates in this context) to measure lengths, and a clock to measure time intervals. An event is something that happens at a point in space at an instant of time, or more formally a point in spacetime. The transformations connect the space and time coordinates of an event as measured by an observer in each frame. They supersede the Galilean transformation of Newtonian physics, which assumes an absolute space and time (see Galilean relativity). The Galilean transformation is a good approximation only at relative speeds much less than the speed of light. Lorentz transformations have a number of unintuitive features that do not appear in Galilean transformations. For example, they reflect the fact that observers moving at different velocities may measure different distances, elapsed times, and even different orderings of events, but always such that the speed of light is the same in all inertial reference frames. The invariance of light speed is one of the postulates of special relativity. Historically, the transformations were the result of attempts by Lorentz and others to explain how the speed of light was observed to be independent of the reference frame, and to understand the symmetries of the laws of electromagnetism. The transformations later became a cornerstone for special relativity. The Lorentz transformation is a linear transformation. It may include a rotation of space; a rotation free Lorentz transformation is called a Lorentz boost. In Minkowski space—the mathematical model of spacetime in special relativity—the Lorentz transformations preserve the spacetime interval between any two events. This property is the defining property of a Lorentz transformation. They describe only the transformations in which the spacetime event at the origin is left fixed. They can be considered as a hyperbolic rotation of Minkowski space. The more general set of transformations that also includes translations is known as the Poincaré group.
Қоординаттық жүйелерді екі топқа бөлуге болады: инерциялық (тұрақты жылдамдықпен салыстырмалы қозғалыс) және инерциялық емес (үдемелі қозғалыс, қисық жолмен қозғалыс, тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналу қозғалысы және т.б.). "Лоренц түрлендірулері" термині тек инерциялық жүйелер арасындағы түрлендірулерді, әдетте арнайы салыстырмалылық теориясы контекстінде білдіреді. Әрбір анықтамалық жүйеде бақылаушы ұзындықты өлшеу үшін жергілікті координаттар жүйесін (әдетте осы жағдайда декарттық координаттар) және уақыт аралықтарын өлшеу үшін сағатты пайдалана алады. Оқиға – бұл кеңістіктегі бір нүктеде, уақыттың бір сәтінде болатын құбылыс, немесе формальды түрде кеңістіктегі-уақыттың бір нүктесі. Түрлендірулер әрбір жүйедегі бақылаушы өлшеген оқиғаның кеңістіктік және уақыт координаттарын байланыстырады. Олар Ньютон физикасының Галилей түрлендіруін ығыстырады, ол абсолютті кеңістік пен уақыт деп есептейді (Галилейдің салыстырмалылық теориясын қараңыз). Галилей түрлендіруі тек жарық жылдамдығынан әлдеқайда кіші салыстырмалы жылдамдықтарда жақсы жуықтама болып табылады. Лоренц түрлендірулері Галилей түрлендірулерінде көрінбейтін бірқатар интуитивті емес ерекшеліктерге ие. Мысалы, олар әртүрлі жылдамдықпен қозғалатын бақылаушылардың әртүрлі қашықтықтарды, өткен уақытты және тіпті оқиғалардың әртүрлі ретін өлшеуі мүмкін екенін көрсетеді, бірақ әрқашан жарық жылдамдығы барлық инерциялық анықтамалық жүйелерде бірдей болады. Жарық жылдамдығының инварианттығы – арнайы салыстырмалылық теориясының постулаттарының бірі. Тарихи тұрғыдан алғанда, түрлендірулер Лоренц және басқалардың жарық жылдамдығының анықтамалық жүйеден тәуелсіз екенін қалай байқағанын түсіндіруге және электромагнетизм заңдарының симметриясын түсінуге жасаған тырысқандарының нәтижесі болды. Кейіннен бұл түрлендірулер арнайы салыстырмалылық теориясының негізіне айналды. Лоренц түрлендіруі – сызықтық түрлендіру. Ол кеңістіктің айналуын қамтуы мүмкін; айналусыз Лоренц түрлендіруі Лоренц күшейткіші деп аталады. Минковский кеңістігінде – арнайы салыстырмалылық теориясындағы кеңістік-уақыттың математикалық моделінде – Лоренц түрлендірулері кез келген екі оқиға арасындағы кеңістік-уақыт аралығын сақтайды. Бұл қасиет Лоренц түрлендіруінің анықтамалық қасиеті болып табылады. Олар тек кеңістік-уақыт оқиғасы бастапқы нүктеде белгіленіп қалған түрлендірулерді ғана сипаттайды. Оларды Минковский кеңістігінің гиперболалық айналуы ретінде қарастыруға болады. Аудармаларды да қамтитын түрлендірулердің жалпы жиынтығы Пуанкаре тобы деп аталады.
In physics, the Lorentz transformations are a six parameter family of linear transformations from a coordinate frame in spacetime to another frame that moves at a constant velocity relative to the former. The respective inverse transformation is then parameterized by the negative of this velocity. The transformations are named after the Dutch physicist Hendrik Lorentz. The most common form of the transformation, parametrized by the real constant representing a velocity confined to the x direction, is expressed as
where (t, x, y, z) and (t′, x′, y′, z′) are the coordinates of an event in two frames with the origins coinciding at t=t′=0, where the primed frame is seen from the unprimed frame as moving with speed v along the x axis, where c is the speed of light, and is the Lorentz factor. When speed v is much smaller than c, the Lorentz factor is negligibly different from 1, but as v approaches c, grows without bound. The value of v must be smaller than c for the transformation to make sense. Expressing the speed as an equivalent form of the transformation is
Frames of reference can be divided into two groups: inertial (relative motion with constant velocity) and non inertial (accelerating, moving in curved paths, rotational motion with constant angular velocity, etc.). The term "Lorentz transformations" only refers to transformations between inertial frames, usually in the context of special relativity. In each reference frame, an observer can use a local coordinate system (usually Cartesian coordinates in this context) to measure lengths, and a clock to measure time intervals. An event is something that happens at a point in space at an instant of time, or more formally a point in spacetime. The transformations connect the space and time coordinates of an event as measured by an observer in each frame. They supersede the Galilean transformation of Newtonian physics, which assumes an absolute space and time (see Galilean relativity). The Galilean transformation is a good approximation only at relative speeds much less than the speed of light. Lorentz transformations have a number of unintuitive features that do not appear in Galilean transformations. For example, they reflect the fact that observers moving at different velocities may measure different distances, elapsed times, and even different orderings of events, but always such that the speed of light is the same in all inertial reference frames. The invariance of light speed is one of the postulates of special relativity. Historically, the transformations were the result of attempts by Lorentz and others to explain how the speed of light was observed to be independent of the reference frame, and to understand the symmetries of the laws of electromagnetism. The transformations later became a cornerstone for special relativity. The Lorentz transformation is a linear transformation. It may include a rotation of space; a rotation free Lorentz transformation is called a Lorentz boost. In Minkowski space—the mathematical model of spacetime in special relativity—the Lorentz transformations preserve the spacetime interval between any two events. This property is the defining property of a Lorentz transformation. They describe only the transformations in which the spacetime event at the origin is left fixed. They can be considered as a hyperbolic rotation of Minkowski space. The more general set of transformations that also includes translations is known as the Poincaré group.
Жалпы ережелер
Бастапқы және бастапқы емес кеңістік-уақыт координаттары арасындағы қатынастар Лоренц түрлендірулері болып табылады, бір кадрдағы әрбір координата – басқа кадрдағы барлық координаттардың сызықтық функциясы, ал кері функциялар кері түрлендіру болып табылады. Фреймдердің бір-біріне қатысты қалай қозғалатынына және олардың бір-біріне қатысты кеңістікте қалай бағдарланғандығына байланысты, бағытты, жылдамдықты және бағдарды сипаттайтын басқа параметрлер түрлендіру теңдеулеріне енгізіледі. Тұрақты (біркелкі) жылдамдықпен және кеңістіктегі координаттар осьтерінің айналуысыз салыстырмалы қозғалысты сипаттайтын түрлендірулер Лоренц күшейтуі немесе жай ғана күшейту деп аталады, ал кадрлар арасындағы салыстырмалы жылдамдық – түрлендірудің параметрі. Лоренц түрлендіруінің басқа негізгі түрі – тек кеңістіктік координаттардағы айналу, мұндай күшейтулер инерциялық түрлендірулер болып табылады, себебі салыстырмалы қозғалыс жоқ, кадрлар жай ғана еңкейтіледі (және үздіксіз айналып отырмайды), және осы жағдайда айналымды анықтайтын шамалар түрлендірудің параметрлері болып табылады (мысалы, ось-бұрыш бейнелеуі немесе Эйлер бұрыштары және т.б.). Айналу мен күшейтудің комбинациясы біртекті түрлендіру болып табылады, ол бастапқы нүктені бастапқы нүктеге қайтарады. Толық Лоренц тобы O(3, 1) сонымен қатар айналулар да, күшейтулер де емес, керісінше, бастапқы нүкте арқылы өтетін жазықтықтағы бейнелеулер болып табылатын арнайы түрлендірулерді қамтиды. Олардың екеуін бөліп қарастыруға болады: кеңістіктік инверсия, онда барлық оқиғалардың кеңістіктік координаттары таңбасымен кері өзгереді, және уақыт инверсиясы, онда әрбір оқиғаның уақыт координатасының таңбасы кері өзгереді. Күшейтулерді жай ғана кеңістік-уақыттағы орын ауыстырулармен шатастыруға болмайды; осы жағдайда координаттар жүйесі жай ғана жылдырылады және салыстырмалы қозғалыс болмайды. Дегенмен, олар да арнайы салыстырмалылық теориясымен талап етілетін симметриялар болып саналады, себебі олар кеңістік-уақыт аралығын өзгермей сақтайды. Айналудың күшейтумен біріктірілуі, одан кейін кеңістік-уақытта жылжу, біртекті емес Лоренц түрлендіруі болып табылады, бұл Пуанкаре тобының элементе, оны біртекті емес Лоренц тобы деп те атайды.
Математикалық тұжырымдамасы
Жалпы, курсив емес, қалың емес үлкен әріптер 4×4 матрицаларды, ал қалың әріптер 3×3 матрицаларды білдіреді.
Лоренцтің біртекті емес тобы
Тағы екі уақыт-кеңістік симметриясы ескерілмеген. Уақыт-кеңістік интервалы инвариантты болуы үшін, координаталық түрленудің мынадай формада болуы қажет және жеткілікті екенін көрсетуге болады:
мұнда C – уақыт және кеңістіктегі трансляцияларды қамтитын тұрақты баған. Егер C ≠ 0 болса, бұл біртекті емес Лоренц түрлендіруі немесе Пуанкаре түрлендіруі. Егер C = 0 болса, бұл біртекті Лоренц түрлендіруі. Пуанкаре түрлендірулері осы мақалада әрі қарай қарастырылмайды.
Спиннерлер
Лоренц тобының кез келген бейнелеуі үшін, биспинорлық бейнелеуді қоса алғанда, теңдеу өзгеріссіз күйінде қалады. Бір жай ғана Λ-ның барлық кездесетін жерлерін биспинорлық Π(Λ) бейнелеуімен алмастырады.
Жоғарыдағы теңдеу, мысалы, екі еркін электронды сипаттайтын Фок кеңістігіндегі күйдің өзгеруін білдіруі мүмкін.
Қағаздар
. Сондай-ақ қараңыз: Ағылшын тіліндегі аударма. eqn (55).