Кіріспе
Математикада және әсіресе комбинаторикада, жазықтық бөлінісі – екі өлшемді жағымсыз бүтін сандар массиві (оң бүтін сандар i және j индекстерімен), екі индекс бойынша да кемдемейтін болады. Яғни, барлық i және j үшін және . Сонымен қатар, тек шекті саны ғана нөлден өзгеше болуы мүмкін. Жазықтық бөліністері – бүтін санның бөлінісін жалпылау болып табылады. Жазықтық бөлінісін (i, j) жазықтықтағы нүктеден жоғары орналасқан бірлік кубтардың үймесі арқылы визуализациялауға болады, бұл суретте көрсетілгендей үш өлшемді дене құрайды. Сурет матрицалық түрде келтірілген.
and for all i and j. Moreover, only finitely many of the may be nonzero. Plane partitions are a generalization of partitions of an integer. A plane partition may be represented visually by the placement of a stack of unit cubes above the point (i, j) in the plane, giving a three dimensional solid as shown in the picture. The image has matrix form
Plane partitions are also often described by the positions of the unit cubes. From this point of view, a plane partition can be defined as a finite subset of positive integer lattice points (i, j, k) in , such that if (r, s, t) lies in and if satisfies , , and , then (i, j, k) also lies in
The sum of a plane partition is
The sum describes the number of cubes of which the plane partition consists. Much interest in plane partitions concerns the enumeration of plane partitions in various classes. The number of plane partitions with sum n is denoted by PL(n). For example, there are six plane partitions with sum 3
so PL(3) = 6. Plane partitions may be classified by how symmetric they are. Many symmetric classes of plane partitions are enumerated by simple product formulas.
Жазықтық бөліністері көбінесе бірлік кубтардың орналасуы арқылы сипатталады. Осы көзқарас бойынша, жазықтық бөлінісін оң бүтін тор нүктелерінің (i, j, k) шекті жиынтығы ретінде анықтауға болады, егер (r, s, t) жиынтықта болса және егер , , және орындалса, онда (i, j, k) да жиынтықта болады.
and for all i and j. Moreover, only finitely many of the may be nonzero. Plane partitions are a generalization of partitions of an integer. A plane partition may be represented visually by the placement of a stack of unit cubes above the point (i, j) in the plane, giving a three dimensional solid as shown in the picture. The image has matrix form
Plane partitions are also often described by the positions of the unit cubes. From this point of view, a plane partition can be defined as a finite subset of positive integer lattice points (i, j, k) in , such that if (r, s, t) lies in and if satisfies , , and , then (i, j, k) also lies in
The sum of a plane partition is
The sum describes the number of cubes of which the plane partition consists. Much interest in plane partitions concerns the enumeration of plane partitions in various classes. The number of plane partitions with sum n is denoted by PL(n). For example, there are six plane partitions with sum 3
so PL(3) = 6. Plane partitions may be classified by how symmetric they are. Many symmetric classes of plane partitions are enumerated by simple product formulas.
Жазықтық бөліністің қосындысы:
and for all i and j. Moreover, only finitely many of the may be nonzero. Plane partitions are a generalization of partitions of an integer. A plane partition may be represented visually by the placement of a stack of unit cubes above the point (i, j) in the plane, giving a three dimensional solid as shown in the picture. The image has matrix form
Plane partitions are also often described by the positions of the unit cubes. From this point of view, a plane partition can be defined as a finite subset of positive integer lattice points (i, j, k) in , such that if (r, s, t) lies in and if satisfies , , and , then (i, j, k) also lies in
The sum of a plane partition is
The sum describes the number of cubes of which the plane partition consists. Much interest in plane partitions concerns the enumeration of plane partitions in various classes. The number of plane partitions with sum n is denoted by PL(n). For example, there are six plane partitions with sum 3
so PL(3) = 6. Plane partitions may be classified by how symmetric they are. Many symmetric classes of plane partitions are enumerated by simple product formulas.
Қосынды жазықтық бөлінісін құрайтын кубтардың санын көрсетеді. Жазықтық бөліністерге деген қызығушылықтың көп бөлігі әртүрлі сыныптардағы жазықтық бөліністерді санауға байланысты. Қосындысы n-ге тең жазықтық бөліністердің саны PL(n) арқылы белгіленеді. Мысалы, қосындысы 3-ке тең алты жазықтық бөлініс бар,
and for all i and j. Moreover, only finitely many of the may be nonzero. Plane partitions are a generalization of partitions of an integer. A plane partition may be represented visually by the placement of a stack of unit cubes above the point (i, j) in the plane, giving a three dimensional solid as shown in the picture. The image has matrix form
Plane partitions are also often described by the positions of the unit cubes. From this point of view, a plane partition can be defined as a finite subset of positive integer lattice points (i, j, k) in , such that if (r, s, t) lies in and if satisfies , , and , then (i, j, k) also lies in
The sum of a plane partition is
The sum describes the number of cubes of which the plane partition consists. Much interest in plane partitions concerns the enumeration of plane partitions in various classes. The number of plane partitions with sum n is denoted by PL(n). For example, there are six plane partitions with sum 3
so PL(3) = 6. Plane partitions may be classified by how symmetric they are. Many symmetric classes of plane partitions are enumerated by simple product formulas.
сондықтан PL(3) = 6. Жазықтық бөліністерін олардың симметриялық қасиеттеріне қарай жіктеуге болады. Көптеген симметриялық жазықтық бөлініс сыныптары қарапайым көбейтінді формулалары арқылы саналады.
and for all i and j. Moreover, only finitely many of the may be nonzero. Plane partitions are a generalization of partitions of an integer. A plane partition may be represented visually by the placement of a stack of unit cubes above the point (i, j) in the plane, giving a three dimensional solid as shown in the picture. The image has matrix form
Plane partitions are also often described by the positions of the unit cubes. From this point of view, a plane partition can be defined as a finite subset of positive integer lattice points (i, j, k) in , such that if (r, s, t) lies in and if satisfies , , and , then (i, j, k) also lies in
The sum of a plane partition is
The sum describes the number of cubes of which the plane partition consists. Much interest in plane partitions concerns the enumeration of plane partitions in various classes. The number of plane partitions with sum n is denoted by PL(n). For example, there are six plane partitions with sum 3
so PL(3) = 6. Plane partitions may be classified by how symmetric they are. Many symmetric classes of plane partitions are enumerated by simple product formulas.
Арнайы жазықтық бөліктері
Арнайы жазықтық бөліктерге симметриялық, циклдік және өзін-өзі толықтыратын жазықтық бөліктер, сондай-ақ осы қасиеттердің комбинациялары жатады. Келесі бөлімдерде қорап ішіндегі жазықтық бөліктердің арнайы кіші топтарын санау қарастырылады. Бұл мақалаларда мұндай жазықтық бөліктердің саны үшін белгісі қолданылады, онда r, s және t қарастырылып отырған қораптың өлшемдері, ал i – қарастырылып отырған жағдайдың индексі болып табылады.
Циклді симметриялық жазық бөліктері
циклдік симметрия деп аталады, егер кез келген i үшін i-ші қатар i-ші бағананың түйіндес болуымен сәйкес келсе. I-ші қатар қарапайым бөліс ретінде қарастырылады. Бөлістің түйіндесі – диаграммасы берілген бөлістің транспозициясы болатын бөліс. Үш жыл өткен соң Уильям Х. Миллс, Дэвид Роббинс және Говард Рамси өздерінің «Макдональд болжамын дәлелдеу» атты мақаласында Макдональдтың болжамының жалпы жағдайын дәлелдеді. -ның формуласы «әлсіз» Макдональд болжамы арқылы берілген.
Толық симметриялық жазық бөліктері
Толық симметриялық жазық бөлік – симметриялық және циклдік симметриялық жазық бөлік. Бұл диаграмманың барлық үш диагональдық жазықтықта симметриялы екенін білдіреді, яғни егер (i, j, k) болса, онда (i, j, k) координаталарының барлық алты пермутациясы да жатады. Толық симметриялық жазық бөліктері үшін матрица мысалы төменде келтірілген. Суретте осы матрицаның визуализациясы көрсетілген. Макдональд кіші жиын құрайтын толық симметриялық жазық бөліктерінің жалпы санын анықтады. 1995 жылы Джон Р. Стембридж бұл формуланы бірінші болып дәлелдеді, ал 2005 жылы Джордж Эндрюс, Питер Пауль және Карстен Шнайдер оны растады. 1983 жыл шамасында Эндрюс пен Роббинс толық симметриялық жазық бөліктері үшін орбита санау генерациялау функциясының нақты формуласын ұсынды. Бұл формула Джордж Э. Эндрюстің 1980 жылы жарияланған «Толық симметриялық жазық бөліктері» атты жұмысында қысқаша айтылған. Бұл болжам q TSPP болжамы деп аталады және ол былай беріледі: симметриялық топ болсын. ішіне сыятын толық симметриялық жазық бөліктері үшін орбита санау функциясы мына формуламен беріледі: Бұл болжамды 2011 жылы Кристоф Кутшан, Мануэль Кауэрс және Дорон Зейльбергер дәлелдеді.
In 1995 John R. Stembridge first proved the formula for and later in 2005 it was proven by George Andrews, Peter Paule, and Carsten Schneider. Around 1983 Andrews and Robbins independently stated an explicit product formula for the orbit counting generating function for totally symmetric plane partitions. This formula already alluded to in George E. Andrews' paper Totally symmetric plane partitions which was published 1980. The conjecture is called The q TSPP conjecture and it is given by:
Let be the symmetric group. The orbit counting function for totally symmetric plane partitions that fit inside is given by the formula
This conjecture was proved in 2011 by Christoph Koutschan, Manuel Kauers and Doron Zeilberger.
Циклді симметриялық өзін-өзі толықтыратын жазық бөліктері
Жазықтық бөлініс, егер ол циклдік симметриялы және өзін-өзі толықтыратын болса, циклдік симметриялы өзін-өзі толықтыратын деп аталады. Суретте циклдік симметриялы өзін-өзі толықтыратын жазықтық бөлініс көрсетілген, ал сәйкес матрица төменде келтірілген. Стенлимен жеке хабар алмасуда Роббинс циклдік симметриялы өзін-өзі толықтыратын жазықтық бөліністердің жалпы саны былай беріледі деп болжады.
Толық симметриялық өзін-өзі толықтыратын жазық бөліктері
Толық симметриялық өзін-өзі толықтыратын жазық бөлік – толық симметриялық және өзін-өзі толықтыратын жазық бөлік. Мысалы, төмендегі матрица осындай жазық бөлік болып табылады; ол қоса берілген суретте көрсетілген. Бұл формула Уильям Х. Миллс, Роббинс және Говард Рамси өздерінің «Өзін-өзі толықтыратын толық симметриялық жазық бөліктер» еңбегінде болжаған. Толық симметриялық өзін-өзі толықтыратын жазық бөліктердің жалпы саны Эндрюс 1994 жылы «Жазық бөліктер V: TSSCPP болжамы» мақаласында дәлелденген.
Andrews proves this formula in 1994 in his paper Plane Partitions V: The TSSCPP Conjecture.