Введение
В математике и особенно в комбинаторике, плоский раздел — это двумерный массив неотрицательных целых чисел (с положительными целыми индексами i и j), неубывающий в обоих индексах. Это означает, что и для всех i и j. Кроме того, лишь конечное число элементов может быть ненулевым. Плоские разделы являются обобщением разбиений целого числа. Плоский раздел можно визуально представить как размещение стопки кубов единичного размера над точкой (i, j) на плоскости, образуя трехмерное тело, как показано на рисунке. Изображение имеет матричную форму.
and for all i and j. Moreover, only finitely many of the may be nonzero. Plane partitions are a generalization of partitions of an integer. A plane partition may be represented visually by the placement of a stack of unit cubes above the point (i, j) in the plane, giving a three dimensional solid as shown in the picture. The image has matrix form
Плоские разделы также часто описываются положениями кубов единичного размера. С этой точки зрения, плоский раздел можно определить как конечное подмножество точек целочисленной решетки (i, j, k) в , такое, что если (r, s, t) принадлежит , и если выполняются условия , , и , то (i, j, k) также принадлежит .
The sum of a plane partition is
Сумма плоского раздела равна .
Сумма описывает количество кубов, из которых состоит плоский раздел. Значительный интерес к плоским разделам связан с перечислением плоских разделов в различных классах. Количество плоских разделов с суммой n обозначается PL(n). Например, существует шесть плоских разделов с суммой 3, следовательно, PL(3) = 6. Плоские разделы можно классифицировать по степени их симметрии. Многие симметричные классы плоских разделов перечисляются с помощью простых формул произведения.
Специальные плоские перегородки
Специальные плоские разбиения включают симметричные, циклические и самодополнительные плоские разбиения, а также комбинации этих свойств. В последующих разделах рассматривается перечисление специальных подклассов плоских разбиений внутри прямоугольника. В этих работах используется обозначение для числа таких плоских разбиений, где r, s и t – размеры рассматриваемого прямоугольника, а i – индекс рассматриваемого варианта.
Действие S2, S3 и C3 на плоские перегородки
является группой перестановок, действующих на первые две координаты точки. Эта группа содержит тождественное преобразование, которое отображает (i, j, k) в себя, и транспозицию (i, j, k) → (j, i, k). Количество элементов в орбите обозначается , а множество орбит элементов под действием – обозначается . Высота элемента (i, j, k) определяется как высота увеличивается на единицу за каждый шаг от заднего правого угла. Например, угловая позиция (1, 1, 1) имеет высоту 1 и ht(2, 1, 1) = 2. Высота орбиты определяется как высота любого элемента в этой орбите. Данное обозначение высоты отличается от обозначения, используемого Ианом Г. Макдональдом. Эта гипотеза называется гипотезой МакМаона. Функция, порождающая, задается как
The height increases by one for each step away from the back right corner. For example, the corner position (1, 1, 1) has height 1 and ht(2, 1, 1) = 2. The height of an orbit is defined to be the height of any element in the orbit. This notation of the height differs from the notation of Ian G. Macdonald. This conjecture is called The MacMahon conjecture. The generating function is given by
Macdonald pointed out that Percy A. MacMahon's conjecture reduces to
In 1972 Edward A. Bender and Donald E. Knuth conjectured a simple closed form for the generating function for plane partition which have at most r rows and strict decrease along the rows. George Andrews showed that the conjecture of Bender and Knuth and the MacMahon conjecture are equivalent. MacMahon's conjecture was proven almost simultaneously by George Andrews in 1977 and later Ian G. Macdonald presented an alternative proof. When setting q = 1 yields the counting function which is given by
For a proof of the case q = 1 please refer to George Andrews' paper MacMahon's conjecture on symmetric plane partitions.
Макдональд указал, что гипотеза Перси А. МакМаона сводится к
The height increases by one for each step away from the back right corner. For example, the corner position (1, 1, 1) has height 1 and ht(2, 1, 1) = 2. The height of an orbit is defined to be the height of any element in the orbit. This notation of the height differs from the notation of Ian G. Macdonald. This conjecture is called The MacMahon conjecture. The generating function is given by
Macdonald pointed out that Percy A. MacMahon's conjecture reduces to
In 1972 Edward A. Bender and Donald E. Knuth conjectured a simple closed form for the generating function for plane partition which have at most r rows and strict decrease along the rows. George Andrews showed that the conjecture of Bender and Knuth and the MacMahon conjecture are equivalent. MacMahon's conjecture was proven almost simultaneously by George Andrews in 1977 and later Ian G. Macdonald presented an alternative proof. When setting q = 1 yields the counting function which is given by
For a proof of the case q = 1 please refer to George Andrews' paper MacMahon's conjecture on symmetric plane partitions.
В 1972 году Эдвард А. Бендер и Дональд Э. Кнут выдвинули гипотезу о простой замкнутой форме для функции, порождающей плоские разбиения, имеющие не более r строк и строгое убывание вдоль строк. Джордж Эндрюс показал, что гипотеза Бендера и Кнута эквивалентна гипотезе МакМаона. Гипотеза МакМаона была доказана почти одновременно Джорджем Эндрюсом в 1977 году, а позже Иэн Г. Макдональд представил альтернативное доказательство. При q = 1 получается функция подсчета, которая задается как
The height increases by one for each step away from the back right corner. For example, the corner position (1, 1, 1) has height 1 and ht(2, 1, 1) = 2. The height of an orbit is defined to be the height of any element in the orbit. This notation of the height differs from the notation of Ian G. Macdonald. This conjecture is called The MacMahon conjecture. The generating function is given by
Macdonald pointed out that Percy A. MacMahon's conjecture reduces to
In 1972 Edward A. Bender and Donald E. Knuth conjectured a simple closed form for the generating function for plane partition which have at most r rows and strict decrease along the rows. George Andrews showed that the conjecture of Bender and Knuth and the MacMahon conjecture are equivalent. MacMahon's conjecture was proven almost simultaneously by George Andrews in 1977 and later Ian G. Macdonald presented an alternative proof. When setting q = 1 yields the counting function which is given by
For a proof of the case q = 1 please refer to George Andrews' paper MacMahon's conjecture on symmetric plane partitions.
Для доказательства случая q = 1 обратитесь к статье Джорджа Эндрюса «Гипотеза МакМаона о симметричных плоских разбиениях».
The height increases by one for each step away from the back right corner. For example, the corner position (1, 1, 1) has height 1 and ht(2, 1, 1) = 2. The height of an orbit is defined to be the height of any element in the orbit. This notation of the height differs from the notation of Ian G. Macdonald. This conjecture is called The MacMahon conjecture. The generating function is given by
Macdonald pointed out that Percy A. MacMahon's conjecture reduces to
In 1972 Edward A. Bender and Donald E. Knuth conjectured a simple closed form for the generating function for plane partition which have at most r rows and strict decrease along the rows. George Andrews showed that the conjecture of Bender and Knuth and the MacMahon conjecture are equivalent. MacMahon's conjecture was proven almost simultaneously by George Andrews in 1977 and later Ian G. Macdonald presented an alternative proof. When setting q = 1 yields the counting function which is given by
For a proof of the case q = 1 please refer to George Andrews' paper MacMahon's conjecture on symmetric plane partitions.
Циклически симметричные плоские перегородки
называется циклически симметричной, если i-я строка является сопряженной к i-му столбцу для всех i. i-я строка рассматривается как обычное разбиение. Сопряженным к разбиению является разбиение, диаграмма которого является транспонированием диаграммы исходного разбиения. Три года спустя Уильям Х. Миллс, Дэвид Роббинс и Говард Рамси доказали общий случай гипотезы Макдональда в своей статье "Доказательство гипотезы Макдональда". Формула для этого дается "слабой" гипотезой Макдональда.
Полностью симметричные плоские перегородки
Полностью симметричная плоская перегородка — это плоская перегородка, которая является симметричной и циклически симметричной. Это означает, что диаграмма симметрична относительно всех трех диагональных плоскостей, или, другими словами, если (i, j, k) принадлежит перегородке, то все шесть перестановок (i, j, k) также принадлежат ей. Ниже приведен пример матрицы для полностью симметричной плоской перегородки. На рисунке показана визуализация этой матрицы. Макдональд нашёл общее количество полностью симметричных плоских перегородок, являющихся подмножествами некоторого множества, и представил формулу для этого числа. Эта формула была впервые доказана Джоном Р. Стембриджем в 1995 году, а позже, в 2005 году, — Джорджем Эндрюсом, Питером Паулем и Карстеном Шнайдером. Около 1983 года Эндрюс и Роббинс независимо сформулировали явную формулу произведения для генерирующей функции подсчёта орбит для полностью симметричных плоских перегородок. Эта формула уже упоминалась в статье Джорджа Э. Эндрюса «Полностью симметричные плоские перегородки», опубликованной в 1980 году. Это утверждение называется q TSPP-гипотезой и имеет вид:
In 1995 John R. Stembridge first proved the formula for and later in 2005 it was proven by George Andrews, Peter Paule, and Carsten Schneider. Around 1983 Andrews and Robbins independently stated an explicit product formula for the orbit counting generating function for totally symmetric plane partitions. This formula already alluded to in George E. Andrews' paper Totally symmetric plane partitions which was published 1980. The conjecture is called The q TSPP conjecture and it is given by:
Let be the symmetric group. The orbit counting function for totally symmetric plane partitions that fit inside is given by the formula
This conjecture was proved in 2011 by Christoph Koutschan, Manuel Kauers and Doron Zeilberger.
Пусть — симметрическая группа. Функция подсчёта орбит для полностью симметричных плоских перегородок, помещающихся внутрь , задаётся формулой
In 1995 John R. Stembridge first proved the formula for and later in 2005 it was proven by George Andrews, Peter Paule, and Carsten Schneider. Around 1983 Andrews and Robbins independently stated an explicit product formula for the orbit counting generating function for totally symmetric plane partitions. This formula already alluded to in George E. Andrews' paper Totally symmetric plane partitions which was published 1980. The conjecture is called The q TSPP conjecture and it is given by:
Let be the symmetric group. The orbit counting function for totally symmetric plane partitions that fit inside is given by the formula
This conjecture was proved in 2011 by Christoph Koutschan, Manuel Kauers and Doron Zeilberger.
Эта гипотеза была доказана в 2011 году Кристофом Кутшаном, Мануэлем Кауэрсом и Дороном Зейльбергером.
In 1995 John R. Stembridge first proved the formula for and later in 2005 it was proven by George Andrews, Peter Paule, and Carsten Schneider. Around 1983 Andrews and Robbins independently stated an explicit product formula for the orbit counting generating function for totally symmetric plane partitions. This formula already alluded to in George E. Andrews' paper Totally symmetric plane partitions which was published 1980. The conjecture is called The q TSPP conjecture and it is given by:
Let be the symmetric group. The orbit counting function for totally symmetric plane partitions that fit inside is given by the formula
This conjecture was proved in 2011 by Christoph Koutschan, Manuel Kauers and Doron Zeilberger.
Циклически симметричные самодополняющие плоские перегородки
Плоское разбиение называется циклически симметричным самодополняющимся, если оно циклически симметрично и самодополняющееся. На рисунке представлено циклически симметричное самодополняющееся плоское разбиение, а соответствующая матрица приведена ниже. В частной переписке со Стенли Роббинс высказал предположение, что общее число циклически симметричных самодополняющихся плоских разбиений равно .
Полностью симметричные самодополняющие плоские перегородки
Полностью симметричный самодополняющийся плоский раздел — это плоский раздел, который одновременно является полностью симметричным и самодополняющимся. Например, матрица, представленная ниже, является таким плоским разделом; она визуализирована на сопровождающем рисунке. Формула была предложена Уильямом Х. Миллсом, Роббинсом и Говардом Рамси в их работе «Самодополняющие полностью симметричные плоские перегородки». Общее число полностью симметричных самодополняющих плоских перегородок дано Эндрюсом, который доказал эту формулу в 1994 году в своей работе «Плоские перегороды V: гипотеза TSSCPP».
Andrews proves this formula in 1994 in his paper Plane Partitions V: The TSSCPP Conjecture.