Кіріспе

1=x² + y² + z² = 3xyz шешімі

Марков саны немесе Марков өсімі – Марков Диофанти теңдеуінің шешімінің құрамына кіретін оң бүтін сан x, y немесе z.

Алғашқы Марков сандары: 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, – Марков үштіктерінің координаталары ретінде келеді: (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325).

Марков сандары мен Марков үштіктері шексіз көп.

Марков ағашы

Марков үштігінің жаңасын ескі (x, y, z) түрінен алудың екі қарапайым жолы бар. Біріншіден, x, y, z сандарын орналастыруға болады, яғни x ≤ y ≤ z болатындай үштіктерді нормалдастыруға болады. Екіншіден, егер (x, y, z) Марков үштігі болса, онда (x, y, 3xy - z) да Марков үштігі болады. Бұл операцияны екі рет қолданғаннан кейін бастапқы үштікке қайта ораласыз. Әрбір нормаланған Марков үштігінен (1,1,1) бастап, одан шығатын 1, 2 немесе 3 нормаланған үштіктерге қосылу арқылы диаграммадағыдай график құруға болады. Бұл график байланысты; яғни, кез келген Марков үштігін осы операциялардың тізбегі арқылы (1,1,1) үштігіне қосуға болады. Мысалы, (1, 5, 13) үштігінен бастасақ, оның үш көршісі (5, 13, 194), (1, 13, 34) және (1, 2, 5) Марков ағашында болады, егер z сәйкесінше 1, 5 және 13 болса. Мысалы, (1, 1, 2) үштігінен бастап, әр итерация алдында y және z сандарын алмастырсақ, Фибоначчи сандарымен Марков үштіктер тізімін аламыз. Сол үштікпен бастап, әр итерация алдында x және z сандарын алмастырсақ, Пелл сандарымен үштіктерді аламыз. 2 аймағына іргелес аймақтардағы барлық Марков сандары — тақ индекстелген Пелл сандары (немесе 2n² - 1 квадрат болатын n сандары), ал 1 аймағына іргелес аймақтардағы барлық Марков сандары — тақ индекстелген Фибоначчи сандары. Осылайша, Fk – k-шы Фибоначчи саны болатын формадағы шексіз көп Марков үштіктер бар. Сол сияқты, Pk – k-шы Пелл саны болатын формадағы шексіз көп Марков үштіктер бар.