Введение

1=Решение уравнения x² + y² + z² = 3xyz

Число Маркова — это положительное целое число x, y или z, входящее в решение уравнения Маркова — диофантово уравнения, изученного

Первые несколько чисел Маркова: 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325,
которые являются координатами троек Маркова: (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325).

Существует бесконечно много чисел Маркова и троек Маркова.

Марковское дерево

Есть два простых способа получить новую тройку Маркова из старой (x, y, z). Во-первых, можно переставлять числа x, y, z, так что, в частности, можно нормализовать тройки, чтобы x ≤ y ≤ z. Во-вторых, если (x, y, z) является тройкой Маркова, то и (x, y, 3xy − z) также является тройкой Маркова. Двойное применение этой операции возвращает исходную тройку. Соединяя каждую нормализованную тройку Маркова с одной, двумя или тремя нормализованными тройками, которые можно из нее получить, мы получаем граф, начинающийся с (1, 1, 1), как показано на диаграмме. Этот граф связен, то есть любую тройку Маркова можно связать с (1, 1, 1) последовательностью этих операций. Например, начиная с (1, 5, 13), мы получим три соседних тройки (5, 13, 194), (1, 13, 34) и (1, 2, 5) в дереве Маркова, если z установлено равным 1, 5 и 13 соответственно. Например, начиная с (1, 1, 2) и меняя местами y и z перед каждой итерацией, мы получим тройки Маркова с числами Фибоначчи. Начиная с того же триплета и меняя местами x и z перед каждой итерацией, мы получим тройки с числами Пелла. Все числа Маркова в областях, прилегающих к области, соответствующей 2, являются числами Пелла с нечетными индексами (или числами n, для которых 2n² − 1 является полным квадратом), а все числа Маркова в областях, прилегающих к области, соответствующей 1, являются числами Фибоначчи с нечетными индексами. Таким образом, существует бесконечно много троек Маркова вида

где Fk — k-е число Фибоначчи. Аналогично, существует бесконечно много троек Маркова вида

где Pk — k-е число Пелла.