Кіріспе
Оң санның Энгель кеңейуі – x оң санның бірегей кемімейтін тізбегі, осындай
Мысалы, Эйлер санының Энгель кеңейуі: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
шеңберсіз қатарға сәйкес келеді.
1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
corresponding to the infinite series
Рационалды сандардың Энгель кеңейуі шекті, ал иррационалды сандардың Энгель кеңейуі шексіз болады. Егер x рационалды сан болса, оның Энгель кеңейуі x-ті египеттік бөлшек түрінде көрсетеді. Энгель кеңейтулері оларды 1913 жылы зерттеген Фридрих Энгельдің есімімен аталады. Энгель кеңейуіне ұқсас, бірақ кезектесетін мүшелері теріс болатын кеңею Пирс кеңейуі деп аталады.
Мысал
1. 175 санының Энгель кеңейтуін табу үшін келесі қадамдар орындалады. Бұл тізбек осы жерде аяқталады. Осылайша, 1.175 санының Энгель кеңейтуі (1, 6, 20) болады.
and the Engel expansion of 1.175 is (1, 6, 20).
Рационалдық сандардың Энгель кеңейтулері
Әрбір оң рационалды санның бірегей шекті Энгель кеңеюі бар. Энгель кеңеюінің алгоритміне сәйкес, егер ui рационалды сан болса x/y, онда ui+1 = (−y mod x)/y. Сондықтан, әр қадамда қалған бөлшектің алымы азаяды және Энгель кеңеюін құру процесі шекті санда аяқталуы керек. Әрбір рационалды санның да бірегей шексіз Энгель кеңеюі бар: сәйкестікті пайдаланып, шекті Энгель кеңеюіндегі соңғы n цифры оның мәнін өзгертпей (n + 1) сандарының шексіз тізбегімен алмастырылуы мүмкін. Мысалы, бұл кез келген рационалды санның шекті ондық өрнегі шексіз ондық өрнекпен бірдей болатынына ұқсас (0.999-ды қараңыз). Барлық мүшелері тең шексіз Энгель кеңеюі геометриялық қатар болып табылады. Эрдёш, Реньи және Сюз рационалды санның шекті Энгель кеңеюінің ұзындығына қатысты маңызды емес шектеулерді сұраған x/y; бұл сұраққа Эрдёш пен Шалит жауап берді, олар кеңейтудегі мүшелердің саны кез келген ε > 0 үшін O(y1/3 + ε) екенін дәлелдеді.
the final digit n in a finite Engel expansion can be replaced by an infinite sequence of (n + 1)s without changing its value. For example,
This is analogous to the fact that any rational number with a finite decimal representation also has an infinite decimal representation (see 0.999 ). An infinite Engel expansion in which all terms are equal is a geometric series. Erdős, Rényi, and Szüsz asked for nontrivial bounds on the length of the finite Engel expansion of a rational number x/y ; this question was answered by Erdős and Shallit, who proved that the number of terms in the expansion is O(y1/3 + ε) for any ε > 0.
Кеңейту шарттарының өсу қарқыны
Энгель кеңеюінің коэффициенттері ai әдетте экспоненциалды өсуді көрсетеді; дәлірек айтқанда, (0,1] аралығындағы дерлік барлық сандар үшін лимит бар және ол e-ге тең. Дегенмен, бұл жағдай орын алмайтын аралықтың кіші жиынының Хаусдорф өлшемі бірге тең, яғни ол жиын да үлкен. Мысырлық бөлшектер үшін ашкөз алгоритммен құрастырылған кеңейтулердегі мүшелерге де осы типтік өсу жылдамдығы қолданылады. Алайда, Энгель және ашкөз кеңейтулері сәйкес келетін (0,1] аралығындағы нақты сандар жиынының өлшемі нөлге тең, ал Хаусдорф өлшемі 1/2-ге тең.