Введение
Расширение Энгеля положительного действительного числа x — это единственная неубывающая последовательность положительных целых чисел такая, что
Например, число Эйлера e имеет расширение Энгеля 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, соответствующее бесконечному ряду.
1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
corresponding to the infinite series
Рациональные числа имеют конечное расширение Энгеля, а иррациональные числа — бесконечное. Если x рационально, его расширение Энгеля представляет x в виде египетской дроби. Расширения Энгеля названы в честь Фридриха Энгеля, который изучал их в 1913 году. Расширение, аналогичное расширению Энгеля, в котором чередуются положительные и отрицательные члены, называется расширением Пирса.
Пример
Чтобы найти расширение Энгеля числа 1,175, мы выполняем следующие шаги. Ряд заканчивается здесь. Таким образом, расширение Энгеля числа 1,175 равно (1, 6, 20).
and the Engel expansion of 1.175 is (1, 6, 20).
Расширения Энгеля рациональных чисел
Каждое положительное рациональное число имеет уникальное конечное расширение Энгеля. В алгоритме расширения Энгеля, если ui — рациональное число x/y, то ui +1 = (−y mod x)/y. Следовательно, на каждом шаге числитель в оставшейся дроби ui уменьшается, и процесс построения расширения Энгеля должен завершиться за конечное число шагов. Каждое рациональное число также имеет уникальное бесконечное расширение Энгеля: используя тождество, последняя цифра n в конечном расширении Энгеля может быть заменена бесконечной последовательностью (n + 1) без изменения его значения. Например, это аналогично тому факту, что любое рациональное число с конечным десятичным представлением также имеет бесконечное десятичное представление (см. 0,999…). Бесконечное расширение Энгеля, в котором все члены равны, является геометрической серией. Эрдош, Рени и Суз задались вопросом о нетривиальных оценках длины конечного расширения Энгеля рационального числа x/y; на этот вопрос ответили Эрдош и Шаллит, которые доказали, что число членов в расширении равно O(y1/3 + ε) для любого ε > 0.
the final digit n in a finite Engel expansion can be replaced by an infinite sequence of (n + 1)s without changing its value. For example,
This is analogous to the fact that any rational number with a finite decimal representation also has an infinite decimal representation (see 0.999 ). An infinite Engel expansion in which all terms are equal is a geometric series. Erdős, Rényi, and Szüsz asked for nontrivial bounds on the length of the finite Engel expansion of a rational number x/y ; this question was answered by Erdős and Shallit, who proved that the number of terms in the expansion is O(y1/3 + ε) for any ε > 0.
Темпы роста в условиях расширения
Коэффициенты ai расширения Энгеля обычно демонстрируют экспоненциальный рост; точнее, для почти всех чисел в интервале (0,1] существует предел, равный e. Однако подмножество интервала, для которого это не выполняется, всё ещё достаточно велико, чтобы его размерность Хаусдорфа была равна единице. Та же типичная скорость роста относится и к членам разложения, генерируемого жадным алгоритмом для египетских дробей. Однако множество действительных чисел в интервале (0,1], чьи расширения Энгеля совпадают с их жадными разложениями, имеет меру нуль и размерность Хаусдорфа 1/2.