Кіріспе
Жинақ теориясындағы белгілі бір кардинальдық сан Математикада, атап айтқанда аксиоматикалық жинақ теориясында, Хартогс саны - жиынтықпен байланысты реттік сан. Атап айтқанда, егер X кез келген жиын болса, онда X-тің Хартогс саны α-дан X-ке инъекция болмаған ең кіші ординал α болып табылады. Егер X жақсы реттелген болса, онда α-ның кардиналдық саны X-тен үлкен ең кіші кардинал болып табылады. Егер X дұрыс реттелмеген болса, онда X-тен α-ға инъекция болмайды. Алайда, α-ның кардиналдық саны әлі де X-тың кардиналдығынан кем емес немесе оған тең емес ең төменгі кардинал болып табылады. (Егер жақсы реттелген жиынтықтардың кардиналды сандарына шектелсек, онда α саны X санынан кем немесе оған тең емес ең кіші сан.) X-ді α-ға қарай түсіретін картаны кейде Хартогс функциясы деп атайды. Бұл карталау алеф сандарын құру үшін қолданылады, олар шексіз жақсы реттелген жиынтықтардың барлық кардинал сандары болып табылады. Хартогс санының бар екендігін Фридрих Хартогс 1915 жылы, Зермело-Франкель жиындары теориясын ғана (яғни таңдау аксиомасын қолданбай) пайдаланып дәлелдеді.
In mathematics, specifically in axiomatic set theory, a Hartogs number is an ordinal number associated with a set. In particular, if X is any set, then the Hartogs number of X is the least ordinal α such that there is no injection from α into X. If X can be well ordered then the cardinal number of α is a minimal cardinal greater than that of X. If X cannot be well ordered then there cannot be an injection from X to α. However, the cardinal number of α is still a minimal cardinal not less than or equal to the cardinality of X. (If we restrict to cardinal numbers of well orderable sets then that of α is the smallest that is not not less than or equal to that of X.) The map taking X to α is sometimes called Hartogs's function. This mapping is used to construct the aleph numbers, which are all the cardinal numbers of infinite well orderable sets. The existence of the Hartogs number was proved by Friedrich Hartogs in 1915, using Zermelo–Fraenkel set theory alone (that is, without using the axiom of choice).
Хартогс теоремасы
Хартогс теоремасы кез келген Х жиыны үшін ординал α бар екенін айтады, яғни α-дан X-қа инъекция жоқ. Ординалдар жақсы реттелгендіктен, бұл кез келген Х жиыны үшін Хартогс санының бар екендігін білдіреді. Сонымен қатар, дәлелдеу конструктивті болып табылады және Х-тің Хартог санынан шығады.
Тарихи ескерту
1915 жылы Хартогс фон Нейманның ординалдарын да, алмастыру аксиомасын да қолдана алмады, сондықтан оның нәтижесі Зермелоның жиынтық теориясының бірі болып табылады және жоғарыда көрсетілген қазіргі заманғы көріністен мүлдем өзгеше көрінеді. Оның орнына, ол X-тің жақсы реттелген кіші жиынтықтарының изоморфизм кластарының жиынтығын және егер A-ның B-ден бұрын класы болса, егер A B-дің тиісті бастапқы сегментімен изоморфты болса, онда ол қатынасты қарастырды. Хартогс бұл X-тің кез келген жақсы реттелген кіші жиынтығынан үлкен жақсы реттелген деп көрсетті. Алайда, оның үлесі үшін негізгі мақсат - трихотомияның кардинал сандар үшін (сонда 11 жастағы) жақсы реттеу теоремасын (және, сондықтан, таңдау аксиомасын) білдіретінін көрсету болды.