Введение
Определенный вид кардинального числа в теории множеств В математике, в частности в аксиоматической теории множеств, число Хартога - это порядковое число, связанное с множеством. В частности, если X является любым множеством, то число Хартогса X является наименьшим порядковым α таким образом, что нет введения от α в X. Если X может быть хорошо упорядочен, то кардинальное число α является минимальным кардиналом, большем, чем у X. Если X не может быть хорошо упорядочен, то не может быть инъекции от X к α. Однако кардинальное число α по-прежнему является минимальным кардиналом, не менее или равное кардинальности X. (Если мы ограничимся кардинальными числами хорошо упорядочиваемых множеств, то множество α является наименьшим, которое не меньше или не равно множеству X.) Карта, принимающая X в α, иногда называется функцией Хартогса. Это отображение используется для построения алефных чисел, которые являются всеми кардинальными числами бесконечных хорошо упорядочиваемых множеств. Существование числа Хартогса было доказано Фридрихом Хартогсом в 1915 году, используя теорию множеств Зермело-Фрэнкеля (то есть без использования аксиомы выбора).
In mathematics, specifically in axiomatic set theory, a Hartogs number is an ordinal number associated with a set. In particular, if X is any set, then the Hartogs number of X is the least ordinal α such that there is no injection from α into X. If X can be well ordered then the cardinal number of α is a minimal cardinal greater than that of X. If X cannot be well ordered then there cannot be an injection from X to α. However, the cardinal number of α is still a minimal cardinal not less than or equal to the cardinality of X. (If we restrict to cardinal numbers of well orderable sets then that of α is the smallest that is not not less than or equal to that of X.) The map taking X to α is sometimes called Hartogs's function. This mapping is used to construct the aleph numbers, which are all the cardinal numbers of infinite well orderable sets. The existence of the Hartogs number was proved by Friedrich Hartogs in 1915, using Zermelo–Fraenkel set theory alone (that is, without using the axiom of choice).
Теорема Хартогса
Теорема Хартогса гласит, что для любого множества X существует ординал α такой, что; то есть такой, что нет никакого введения от α в X. Поскольку порядковые числа хорошо упорядочены, это сразу же подразумевает существование числа Хартогса для любого множества X. Кроме того, доказательство конструктивное и дает число Хартогса X.
Историческое замечание
В 1915 году Хартогс не мог использовать ни ординал фон Неймана, ни аксиомы замещения, и поэтому его результат является одним из теории множеств Зермело и выглядит довольно по-другому, чем современное изложение выше. Вместо этого он рассматривал множество классов изоморфизма хорошо упорядоченных подмножеств X и отношение, в котором класс A предшествует классу B, если A изоморфен с правильным начальным сегментом B. Хартогс показал, что это хорошо упорядоченный класс, большей, чем любой хорошо упорядоченный подмножество X. Однако главной целью его вклада было показать, что трихотомия для кардинальных чисел подразумевает (тогда 11-летнюю) теорему хорошего упорядочения (и, следовательно, аксиому выбора).