Введение

Обобщение скалярного произведения; используется для определения пространств Гильберта.

В математике пространство внутреннего произведения (или, редко, предгильбертово пространство Хаусдорфа) — это вещественное векторное пространство или комплексное векторное пространство с операцией, называемой внутренним произведением. Внутреннее произведение двух векторов в пространстве — это скаляр, часто обозначаемый угловыми скобками, например, < >. Внутренние произведения позволяют формально определить интуитивные геометрические понятия, такие как длины, углы и ортогональность (нулевое внутреннее произведение) векторов. Пространства внутреннего произведения обобщают евклидовы векторные пространства, в которых внутреннее произведение является скалярным произведением или точечным произведением декартовых координат. Пространства внутреннего произведения бесконечной размерности широко используются в функциональном анализе. Пространства внутреннего произведения над полем комплексных чисел иногда называют унитарными пространствами. Первое использование концепции векторного пространства с внутренним произведением принадлежит Джузеппе Пеано, в 1898 году. Внутреннее произведение естественным образом порождает соответствующую норму (обозначенную и на рисунке); таким образом, каждое пространство внутреннего произведения является нормированным векторным пространством. Если это нормированное пространство также является полным (то есть пространством Банаха), то пространство внутреннего произведения является пространством Гильберта. Если пространство внутреннего произведения H не является пространством Гильберта, его можно расширить до пространства Гильберта путем завершения. Это означает, что H является линейным подпространством , внутреннее произведение в H является ограничением внутреннего произведения в , и H плотно в относительно топологии, заданной нормой.

Вариант конвенции

Некоторые авторы, особенно в физике и матричной алгебре, предпочитают определять внутренние произведения и сесквилинейные формы с линейностью по второму аргументу, а не по первому. В этом случае первый аргумент становится комплексно сопряжённо линейным, а не второй. Обозначения Дирака в квантовой механике также используют несколько иную нотацию, то есть , где .

Комплексные матрицы

Внутреннее произведение для комплексных квадратных матриц одинакового размера — внутреннее произведение Фробениуса. Поскольку трасса и транспонирование линейны, а сопряжение применяется ко второй матрице, это сесквилинейный оператор. Кроме того, достигается эрмитова симметрия, и, наконец, поскольку для ненулевого вектора , мы получаем, что внутреннее произведение Фробениуса также является положительно определённым, и, следовательно, является внутренним произведением.

Векторные пространства с формами

На пространстве внутреннего произведения, или в более общем случае, векторном пространстве с невырожденной формой (следовательно, существует изоморфизм), векторы можно сопоставить ковекторам (в координатах – посредством транспонирования), что позволяет вычислять внутреннее и внешнее произведения двух векторов, а не только вектора и ковектора.

Обобщения

Любая из аксиом внутреннего произведения может быть ослаблена, приводя к обобщенным понятиям. Обобщения, наиболее близкие к внутренним произведениям, возникают при сохранении билинейности и сопряжённой симметрии, но ослаблении положительной определенности.

Недегенеративные конъюгированные симметричные формы

Альтернативно, можно потребовать, чтобы спаривание было недегенеративной формой, то есть для любого ненулевого вектора существует вектор такой, что , хотя не обязательно должно быть равно ; иными словами, индуцированное отображение в двойственное пространство является инъективным. Это обобщение важно в дифференциальной геометрии: многообразие, тангенциальные пространства которого снабжены скалярным произведением, является римановым многообразием, а если это скалярное произведение связано с недегенеративной сопряжённо-симметричной формой, то многообразие является псевдоримановым многообразием. Согласно закону инерции Сильвестра, подобно тому, как любое скалярное произведение подобно точечному произведению с положительными весами на наборе векторов, любая недегенеративная сопряжённо-симметричная форма подобна точечному произведению с ненулевыми весами на наборе векторов, а число положительных и отрицательных весов называется соответственно положительным индексом и отрицательным индексом. Произведение векторов в пространстве Минковского является примером неопределённого скалярного произведения, хотя, строго говоря, оно не является скалярным произведением в соответствии со стандартным определением выше. Пространство Минковского имеет четыре измерения и индексы 3 и 1 (назначение знаков "+" и "−" им может различаться в зависимости от соглашений). Чисто алгебраические утверждения (не использующие понятие положительности) обычно опираются только на невырожденность (инъективный гомоморфизм) и, следовательно, применимы в более общем случае.

Смежные продукты

Термин "внутреннее произведение" противопоставляется внешнему произведению, которое является несколько более общей противоположностью. Проще говоря, в координатах внутреннее произведение – это произведение ковектора и вектора, дающее скаляр (матрицу размера 1x1), в то время как внешнее произведение – это произведение вектора и ковектора, дающее матрицу. Внешнее произведение определено для различных размерностей, в то время как внутреннее произведение требует одинаковых размерностей. Если размерности одинаковы, то внутреннее произведение является следом внешнего произведения (след корректно определён только для квадратных матриц). В неформальном резюме: "внутреннее – это горизонталь умножить на вертикаль, результат сжимается, внешнее – это вертикаль умножить на горизонталь, результат расширяется". Более абстрактно, внешнее произведение – это билинейное отображение, сопоставляющее вектор и ковектор линейному преобразованию ранга 1 (простой тензор типа (1, 1)), а внутреннее произведение – это билинейное отображение оценки, получаемое применением ковектора к вектору; порядок доменных векторных пространств здесь отражает различие между ковекторами и векторами. Внутреннее и внешнее произведения не следует путать с внутренним и внешним произведениями, которые являются операциями над векторными полями и дифференциальными формами, или в более общем смысле над внешней алгеброй. В качестве дополнительного усложнения, в геометрической алгебре внутреннее и внешнее (грассманово) произведения объединяются в геометрическом произведении (произведении Клиффорда в алгебре Клиффорда) – внутреннее произведение сопоставляет два вектора (1-вектора) скаляру (0-вектору), а внешнее произведение сопоставляет два вектора бивектору (2-вектору) – и в этом контексте внешнее произведение обычно называют внешним произведением (также клиновым произведением). В этом контексте внутреннее произведение более корректно называть скалярным произведением, поскольку невырожденная квадратичная форма не обязана быть положительно определённой (не обязательно быть внутренним произведением).