Кіріспе
Векторлық кеңістіктердегі математикалық амал, осы ұғымның жалпыламасы. Математикада екі векторлық кеңістік V және W-ның (бірдей өріс үстінде) тензорлық көбейтіндісі – бұл векторлық кеңістік, оған екісызықты бейнелеу байланыстырылған, ол жұпты элементке 1= v ⊗ w деп белгіленетін элементке бейнелейді. v және w-ның тензорлық көбейтіндісі түріндегі элемент – тензор деп аталады. Екі вектордың тензорлық көбейтіндісі кейде элементар тензор немесе жіктелетін тензор деп аталады. Элементар тензорлар V және W кеңістіктерінің барлық элементтерін құруға мүмкіндік береді, яғни V және W кеңістіктерінің әрбір элементі элементар тензорлардың қосындысы болып табылады. Егер V және W үшін базистер берілген болса, онда V және W базистік элементтерінің барлық тензорлық көбейтінділері арқылы V ⊗ W кеңістігінің базисі құрылады.
generalizations of this concept
In mathematics, the tensor product of two vector spaces V and W (over the same field) is a vector space to which is associated a bilinear map that maps a pair to an element of denoted 1= v \otimes w
An element of the form is called the tensor product of v and w. An element of is a tensor, and the tensor product of two vectors is sometimes called an elementary tensor or a decomposable tensor. The elementary tensors span in the sense that every element of is a sum of elementary tensors. If bases are given for V and W, a basis of is formed by all tensor products of a basis element of V and a basis element of W.
The tensor product of two vector spaces captures the properties of all bilinear maps in the sense that a bilinear map from into another vector space Z factors uniquely through a linear map (see Universal property). Tensor products are used in many application areas, including physics and engineering. For example, in general relativity, the gravitational field is described through the metric tensor, which is a vector field of tensors, one at each point of the space time manifold, and each belonging to the tensor product with itself of the cotangent space at the point.
Екі векторлық кеңістіктің тензорлық көбейтіндісі барлық екісызықты бейнелеулердің қасиеттерін қамтиды, яғни V ⊗ W-дан басқа векторлық кеңістік Z-ға екісызықты бейнелеу сызықтық бейнелеу арқылы бірегей түрде жіктеледі (Универсалды қасиетке қараңыз). Тензорлық көбейтінділер физика және инженерияны қоса алғанда, көптеген қолдану салаларында қолданылады. Мысалы, жалпы салыстырмалылық теориясында гравитациялық өріс метрикалық тензор арқылы сипатталады, ол кеңістік-уақыт манифольдының әрбір нүктесінде орналасқан тензорлардың векторлық өрісі болып табылады, және олардың әрқайсысы сол нүктедегі котангенттік кеңістіктің өзімен тензорлық көбейтіндісіне жатады.
generalizations of this concept
In mathematics, the tensor product of two vector spaces V and W (over the same field) is a vector space to which is associated a bilinear map that maps a pair to an element of denoted 1= v \otimes w
An element of the form is called the tensor product of v and w. An element of is a tensor, and the tensor product of two vectors is sometimes called an elementary tensor or a decomposable tensor. The elementary tensors span in the sense that every element of is a sum of elementary tensors. If bases are given for V and W, a basis of is formed by all tensor products of a basis element of V and a basis element of W.
The tensor product of two vector spaces captures the properties of all bilinear maps in the sense that a bilinear map from into another vector space Z factors uniquely through a linear map (see Universal property). Tensor products are used in many application areas, including physics and engineering. For example, in general relativity, the gravitational field is described through the metric tensor, which is a vector field of tensors, one at each point of the space time manifold, and each belonging to the tensor product with itself of the cotangent space at the point.
Анықтамалар мен құрылымдар
Екі векторлық кеңістіктің тензорлық көбейтіндісі – изоморфизмге дейін анықталатын векторлық кеңістік. Оны анықтаудың бірнеше эквивалентті жолдары бар. Көбінесе тензорлық көбейтінді деп аталатын векторлық кеңістікті нақты анықтау қажет, және, әдетте, эквиваленттілікті дәлелдеу осылайша анықталған векторлық кеңістіктердің негізгі қасиеттерінен тікелей туындайды. Тензорлық көбейтіндіні әмбебап қасиет арқылы да анықтауға болады; төмендегіге қараңыз. Кез келген әмбебап қасиет үшін, осы қасиетті қанағаттандыратын барлық объектілер әмбебап қасиетке сәйкес келетін бірегей изоморфизм арқылы изоморфты болады. Осы анықтама қолданылғанда, басқа анықтамаларды әмбебап қасиетті қанағаттандыратын объектілерді құру ретінде және әмбебап қасиетті қанағаттандыратын объектілердің бар екендігін дәлелдеу ретінде қарастыруға болады, яғни тензорлық көбейтінділердің бар екендігін.
Өлшем
Егер V және W шекті өлшемді векторлық кеңістіктер болса, онда V ⊗ W шекті өлшемді болып табылады, ал оның өлшемі V және W өлшемдерінің көбейтіндісіне тең.
Бұл V-ның негіз элементтері мен W-ның негіз элементтерінің барлық тензорлық көбейтінділерін алып құру арқылы шығады.
Тензорлардың өздік конфигурациялары
Квадраттық матрицалар өрістегі жазбаларымен векторлық кеңістіктердің сызықтық бейнелеулерін көрсетеді, мысалы 1= K^n → K^n, және осылайша 1= K проекциялық кеңістіктердің сызықтық бейнелеулерін. Егер матрица сингуляр емес болса, онда ол әр жерде дұрыс анықталған, ал өзіндік векторлар 1= ψ тұрақты нүктелеріне сәйкес келеді. Өзіндік конфигурация 1= \mathbb{P}^{n-1} нүктелерінен тұрады, егер матрица жалпы болса және өріс алгебралық жабық болса. Сызықтық емес бейнелеулердің тұрақты нүктелері – тензорлардың өзіндік векторлары. Форматы болған өлшемді тензорды қарастырайық, ал оның жазбалары нөлдік сипаттағы алгебралық жабық өрісте жатыр. Мұндай тензор және көпмүшелік бейнелеулерін анықтайды, олардың координаттары:
Осылайша, координаталарының әрқайсысы 1= \mathbf{x} = \left(x_1, \ldots, x_n\right) векторындағы дәрежесі болатын гомогенді көпмүшелік болып табылады. Тензордың өзіндік векторлары келесі шектеудің шешімдері болып табылады:
және өзіндік конфигурация осы матрицаның минорларының алгебралық қисығымен беріледі.
Топологиялық тензорлық туындылар
Гильберт кеңістіктері шекті өлшемді векторлық кеңістіктерді кез келген өлшемге дейін жалпылайды. Гильберт кеңістіктерін симметриялық моноидтік категорияға айналдыратын, сондай-ақ "тензорлық көбейтінді" деп аталатын сәйкес операция бар. Ол негізінен жоғарыда талқыланған алгебралық тензорлық көбейтіндінің метрикалық кеңістікке толықтырылуы арқылы құрылады. Дегенмен, ол тензорлық көбейтіндіні анықтайтын әмбебап қасиеттің тікелей аналогын қанағаттандырмайды; осы қасиет үшін морфизмдер Хилберт-Шмидт операторларымен шектелуі тиіс. Ішкі көбейтіндіні қолдану ыңғайсыз жағдайларда, алгебралық тензорлық көбейтіндіні топологиялық тензорлық көбейтінді ретінде толықтыруға талпынуға болады. Алайда, мұндай құрылым енді бірегей түрде анықталмайды: көп жағдайда алгебралық тензорлық көбейтіндіде бірнеше табиғи топологиялар болады.
Степенді векторлық кеңістіктердің тензорлы көбейтіндісі
Кейбір векторлық кеңістіктерді кіші кеңістіктердің тікелей қосындысына жіктеуге болады. Мұндай жағдайларда, екі кеңістіктің тензорлық көбейтіндісі кіші кеңістіктердің көбейтінділерінің қосындысына жіктелуі мүмкін (қосуға таралу принципімен салыстырылатын).
Өкілдіктердің тензорлы көбейтіндісі
Қосымша көбейту құрылымымен жабдықталған векторлық кеңістіктер алгебралар деп аталады. Мұндай алгебралардың тензорлық көбейтіндісі Литтлвуд-Ричардсон қағидасымен сипатталады.
Графиктердің тензорлы көбейтіндісі
"Тензорлық көбейтінді" деп аталғанымен, бұл жоғарыда айтылғандай графиктердің тензорлық көбейтіндісі емес екенін атап өту қажет; шындығында, бұл графтар мен граф гомоморфизмдерінің категориясындағы категориялық теориялық көбейтінді болып табылады. Дегенмен, ол графиктердің жапсарлас матрицаларының Кронекер тензорлық көбейтіндісіне тең. Сондай-ақ, жоғарыдағы сызықтық түрлендірулердің тензорлық көбейтіндісімен салыстырыңыз.
Моноидты санаттар
Тензор көбейтіндісінің ең жалпы аясы – моноиділдік категория. Ол тензорлаудың алгебралық мәнін қамтиды, қандай нысандар тензорланатынына ешқандай нақты сілтеме жасамайды. Сондықтан, барлық тензор көбейтінділерін белгілі бір нысандарға әсер ететін нақты жағдайға моноиділдік категорияны қолдану арқылы көрсетуге болады.
Массивті бағдарламалау тілдері
Массивтік бағдарламалау тілдерінде мұндай схема енгізілген болуы мүмкін. Мысалы, APL-де тензорлық көбейтінді ○.× арқылы көрсетіледі (мысалы, A ○.× B немесе A ○.× B ○.× C). J-де тензорлық көбейтінді */ операторының диадикалық түрі болып табылады (мысалы, a */ b немесе a */ b */ c). J-дің мүмкіндіктері кейбір тензорлық өрістерді де бейнелеуге мүмкіндік береді, себебі a және b тұрақтылардың орнына функциялар болуы мүмкін. Екі функцияның мұндай көбейтіндісі – туынды функция, және егер a және b дифференциалданатын болса, онда a */ b де дифференциалданады. Дегенмен, мұндай жазу тәсілдері барлық массивтік тілдерде кездеспейді. Басқа массивтік тілдерде индекстерді нақты түрде өңдеу қажет болуы мүмкін (мысалы, MATLAB), және/немесе Якобиан туындысы сияқты жоғары ретті функцияларды қолдамауы мүмкін (мысалы, Fortran/APL).