Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, шекті өріс F үстіндегі сингуляр емес алгебралық қисық C-нің Хассе–Витт матрицасы H – бірінші түрдегі дифференциалдардың негізіне қатысты Фробеньо шешуінің (F-де q элементтері бар, q – p жай санының дәрежесі болғандағы p-інші дәрежеге көтеру) матрицасы. Бұл g × g матрицасы, мұнда C-нің туысы g-ға тең. Хассе–Витт матрицасының ранкі – Хассе немесе Хассе–Витт инварианты.
In mathematics, the Hasse–Witt matrix H of a non singular algebraic curve C over a finite field F is the matrix of the Frobenius mapping (p th power mapping where F has q elements, q a power of the prime number p) with respect to a basis for the differentials of the first kind. It is a g × g matrix where C has genus g. The rank of the Hasse–Witt matrix is the Hasse or Hasse–Witt invariant.
Анықтамаға қатысты тәсіл
Бұл анықтама, кіріспеде келтірілгендей, классикалық тұрғыдан қарағанда табиғи және Хелмут Хассе мен Эрнст Виттке (1936) тиесілі. Ол C қисығының J Якобиандық әртүрлілігінің p-рангы туралы сұраққа жауап береді; p-рангы H-ның рангысымен шектеледі, нақтырақ айтқанда, ол g рет өзімен композицияланған Фробенью картасының рангысына тең. Бұл, қағидасы бойынша, алгоритмдік анықтама болып табылады. C гиперэллиптикалық қисық болған жағдайда, криптографияда практикалық қолданылуына байланысты бұл мәселеге соңғы кезде үлкен қызығушылық танытуда. Егер H = 0 болса, C қисығы суперспециалды болып есептеледі. Алайда, бұл анықтамаға кем дегенде екі ескерту жасау қажет. Біріншіден, Фробенью карталарына қатысты белгілі бір конвенция бар, ал қазіргі түсінік бойынша H үшін Фробеньюдің транспозы қажет (толыққанды талқылау үшін арифметикалық және геометриялық Фробеньюлерді қараңыз). Екіншіден, Фробенью картасы F-сызықтық емес; ол F-дегі Z/pZ жай өрісі бойынша сызықтық. Сондықтан матрицаны жазуға болады, бірақ ол тікелей мағынада сызықтық түрлендіруді білдірмейді.
This definition, as given in the introduction, is natural in classical terms, and is due to Helmut Hasse and Ernst Witt (1936). It provides a solution to the question of the p rank of the Jacobian variety J of C; the p rank is bounded by the rank of H, specifically it is the rank of the Frobenius mapping composed with itself g times. It is also a definition that is in principle algorithmic. There has been substantial recent interest in this as of practical application to cryptography, in the case of C a hyperelliptic curve. The curve C is superspecial if H = 0. That definition needs a couple of caveats, at least. Firstly, there is a convention about Frobenius mappings, and under the modern understanding what is required for H is the transpose of Frobenius (see arithmetic and geometric Frobenius for more discussion). Secondly, the Frobenius mapping is not F linear; it is linear over the prime field Z/pZ in F. Therefore the matrix can be written down but does not represent a linear mapping in the straightforward sense.
Абель сорттары және олардың р-рангы
Абельдік түрлілік A-ның p реңгі, сипаттамасы p болатын K өрісіндегі k бүтін саны, онда p-мен көбейтудің ядросы A[p] pk нүктеге ие. Ол A-ның өлшемі d-ге дейін 0-ден кез келген мәнді қабылдай алады; ал, керісінше, кез келген басқа жай сан l үшін A[l]-де l2d нүкте болады. p реңгінің төмен болу себебі – A-дағы p-мен көбейту ажырамас изогения болып табылады: дифференциалы p-ге тең, ал ол K-де 0-ге айналады. Ядроны топтық схема ретінде қарастыру арқылы толық құрылымды алуға болады (Дэвид Мамфорд, Абельдік сорттар, 146–147 беттер); бірақ, мысалы, p модулі бойынша бөлу теңдеуінің қысқартылуын қарастырғанда, шешімдер санының азаюы керек. Сондықтан Картье-Манин операторының немесе Хассе-Витт матрицасының рангі p реңгінің жоғарғы шегін көрсетеді. p реңгі – Фробен операторының өзімен g рет көбейтілгеннен кейінгі рангі. Хассе мен Витттің бастапқы мақаласында бұл мәселе J-ге сүйенбей, C-ге тән терминдермен тұжырымдалған. Бұл жағдайда F(C) функциялық өрісінің мүмкін Артин-Шрайер кеңейтімдерін жіктеу туралы сұрақ туындайды (бұл жағдайда Куммер теориясының аналогы).
The p rank of an abelian variety A over a field K of characteristic p is the integer k for which the kernel A[p] of multiplication by p has pk points. It may take any value from 0 to d, the dimension of A; by contrast for any other prime number l there are l2d points in A[l]. The reason that the p rank is lower is that multiplication by p on A is an inseparable isogeny: the differential is p which is 0 in K. By looking at the kernel as a group scheme one can get the more complete structure (reference David Mumford Abelian Varieties pp. 146–7); but if for example one looks at reduction mod p of a division equation, the number of solutions must drop. The rank of the Cartier–Manin operator, or Hasse–Witt matrix, therefore gives an upper bound for the p rank. The p rank is the rank of the Frobenius operator composed with itself g times. In the original paper of Hasse and Witt the problem is phrased in terms intrinsic to C, not relying on J. It is there a question of classifying the possible Artin–Schreier extensions of the function field F(C) (the analogue in this case of Kummer theory).
1-жігіттің жағдайы
Эллипстік қисықтардың жағдайын Хассе 1934 жылы зерттеген. Жанр 1 болғандықтан, H матрицасы үшін мүмкін жағдайлар: H нөлге тең, Хассе инварианты 0, p-рангі 0, суперсингулярлық жағдай; немесе H нөлден өзгеше, Хассе инварианты 1, p-рангі 1, қалыпты жағдай.
The case of elliptic curves was worked out by Hasse in 1934. Since the genus is 1, the only possibilities for the matrix H are: H is zero, Hasse invariant 0, p rank 0, the supersingular case; or H non zero, Hasse invariant 1, p rank 1, the ordinary case.