Матрица Хассе — Витта и p-ранг алгебраических кривых.
Hasse–Witt matrix
Матрица Хассе — Витта: определение, свойства и связь с инвариантом Хассе для алгебраических кривых над конечными полями. Применение в теории якобиевых многообразий.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике матрица Хассе — Витта H несингулярной алгебраической кривой C над конечным полем F является матрицей отображения Фробениуса (отображение в p-ю степень, где F содержит q элементов, а q является степенью простого числа p) относительно базиса дифференциалов первого рода. Это матрица размера g × g, где g — род кривой C. Ранг матрицы Хассе — Витта является инвариантом Хассе или инвариантом Хассе — Витта.
In mathematics, the Hasse–Witt matrix H of a non singular algebraic curve C over a finite field F is the matrix of the Frobenius mapping (p th power mapping where F has q elements, q a power of the prime number p) with respect to a basis for the differentials of the first kind. It is a g × g matrix where C has genus g. The rank of the Hasse–Witt matrix is the Hasse or Hasse–Witt invariant.
Подход к определению
Это определение, как указано во введении, естественно с классической точки зрения и принадлежит Хельмуту Хассе и Эрнсту Витту (1936 год). Оно предоставляет решение вопроса о p-ранге Якобиана J кривой C; p-ранг ограничен рангом H, а именно, это ранг отображения Фробениуса, примененного к себе g раз. Это также определение, которое в принципе является алгоритмичным. В последнее время наблюдается значительный интерес к нему в связи с практическим применением в криптографии, особенно когда C является гиперэллиптической кривой. Кривая C называется суперсингулярной, если H = 0. Это определение требует, как минимум, нескольких уточнений. Во-первых, существует соглашение относительно отображений Фробениуса, и в современном понимании для H требуется транспонированное отображение Фробениуса (см. обсуждение арифметического и геометрического Фробениуса). Во-вторых, отображение Фробениуса не является линейным в общем смысле; оно линейно над простым полем Z/pZ в F. Следовательно, матрицу можно записать, но она не представляет собой линейное отображение в прямом смысле этого слова.
This definition, as given in the introduction, is natural in classical terms, and is due to Helmut Hasse and Ernst Witt (1936). It provides a solution to the question of the p rank of the Jacobian variety J of C; the p rank is bounded by the rank of H, specifically it is the rank of the Frobenius mapping composed with itself g times. It is also a definition that is in principle algorithmic. There has been substantial recent interest in this as of practical application to cryptography, in the case of C a hyperelliptic curve. The curve C is superspecial if H = 0. That definition needs a couple of caveats, at least. Firstly, there is a convention about Frobenius mappings, and under the modern understanding what is required for H is the transpose of Frobenius (see arithmetic and geometric Frobenius for more discussion). Secondly, the Frobenius mapping is not F linear; it is linear over the prime field Z/pZ in F. Therefore the matrix can be written down but does not represent a linear mapping in the straightforward sense.
Абелевы разновидности и их p-rank
Ранг p абелевого многообразия A над полем K характеристики p – это целое число k, для которого ядро A[p] умножения на p имеет pk точек. Он может принимать любое значение от 0 до d, размерности A; в отличие от любого другого простого числа l, в A[l] содержится l<sup>2d</sup> точек. Причина, по которой p-ранг меньше, заключается в том, что умножение на p на A является неразделимой изогенией: дифференциал равен p, что равно 0 в K. Рассматривая ядро как групповую схему, можно получить более полную структуру (см. Дэвид Мамфорд, Абелевы многообразия, с. 146–147); но, например, при рассмотрении редукции уравнения деления по модулю p, число решений должно уменьшиться. Ранг оператора Картье–Манина, или матрицы Хассе–Витта, поэтому дает верхнюю границу для p-ранга. P-ранг – это ранг оператора Фробениуса, примененного к себе g раз. В оригинальной работе Хассе и Витта проблема сформулирована в терминах, относящихся к C, без использования J. Там речь идет о классификации возможных расширений Артина–Шрайера поля функций F(C) (аналог теории Куммера в данном случае).
The p rank of an abelian variety A over a field K of characteristic p is the integer k for which the kernel A[p] of multiplication by p has pk points. It may take any value from 0 to d, the dimension of A; by contrast for any other prime number l there are l2d points in A[l]. The reason that the p rank is lower is that multiplication by p on A is an inseparable isogeny: the differential is p which is 0 in K. By looking at the kernel as a group scheme one can get the more complete structure (reference David Mumford Abelian Varieties pp. 146–7); but if for example one looks at reduction mod p of a division equation, the number of solutions must drop. The rank of the Cartier–Manin operator, or Hasse–Witt matrix, therefore gives an upper bound for the p rank. The p rank is the rank of the Frobenius operator composed with itself g times. In the original paper of Hasse and Witt the problem is phrased in terms intrinsic to C, not relying on J. It is there a question of classifying the possible Artin–Schreier extensions of the function field F(C) (the analogue in this case of Kummer theory).
Случай рода 1
Случай эллиптических кривых был исследован Хассе в 1934 году. Поскольку род равен 1, для матрицы H возможны лишь следующие варианты: H равна нулю, инвариант Хассе равен 0, p-ранг равен 0, суперсингулярный случай; или H не равна нулю, инвариант Хассе равен 1, p-ранг равен 1, обычный случай.
The case of elliptic curves was worked out by Hasse in 1934. Since the genus is 1, the only possibilities for the matrix H are: H is zero, Hasse invariant 0, p rank 0, the supersingular case; or H non zero, Hasse invariant 1, p rank 1, the ordinary case.