Алгебралық геометриядағы адъюнкция формуласы: көптүрліліктердің канондық шоғы мен гипербеттердің арақатынасын қарастырады. Теоремалар мен индукцияда қолданылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, әсіресе алгебралық геометрияда және күрделі көптүрліліктер теориясында, қосылу формуласы бір әртүрліліктің каноникалық шоғырын және сол әртүрліліктің ішіндегі гипербетті байланыстырады. Ол көбінесе проективтік кеңістік сияқты жақсы қасиеттері бар кеңістіктерге ендірілген әртүрліліктер туралы фактілерді шығару үшін немесе теоремаларды индукция әдісімен дәлелдеу үшін қолданылады.
In mathematics, especially in algebraic geometry and the theory of complex manifolds, the adjunction formula relates the canonical bundle of a variety and a hypersurface inside that variety. It is often used to deduce facts about varieties embedded in well behaved spaces such as projective space or to prove theorems by induction.
Тізгілі төменгі сортының формуласы
X – тегіс алгебралық сан алуандық немесе тегіс күрделі көптүрлілік болсын, ал Y – X-тің тегіс кіші алуандығы болсын. Y → X кіріктіру картасын i арқылы, ал Y-дің X-тегі идеалдық шоғын I арқылы белгілейміз. i үшін конормальдық нақты тізбек:
Let X be a smooth algebraic variety or smooth complex manifold and Y be a smooth subvariety of X. Denote the inclusion map Y → X by i and the ideal sheaf of Y in X by The conormal exact sequence for i is
мұнда Ω котангенттік шоқты білдіреді. Бұл нақты тізбектің детерминанты – табиғи изоморфизм:
where Ω denotes a cotangent bundle. The determinant of this exact sequence is a natural isomorphism
мұнда сызықтық шоқтың дуалы белгіленген.
where denotes the dual of a line bundle.
d дәрежелі гиперүстіңектер
Сәл градусты гипербетке берілген болса, оның каноникалық және антиканоникалық бундельдерін қосылу формуласын қолдана отырып есептеуге болады. Бұл былай жазылады: , ол -қа изоморфты.
Given a smooth degree hypersurface we can compute its canonical and anti canonical bundles using the adjunction formula. This reads aswhich is isomorphic to .
Толық қиылыстар
Жақсы анықталған толық қиылысу үшін конормалық шоғыр , демек, детерминантты шоғыр және оның қосарғысы , осылайша барлық толық қиылысулар үшін осы қағида қолданылады.
For a smooth complete intersection of degrees , the conormal bundle is isomorphic to , so the determinant bundle is and its dual is , showingThis generalizes in the same fashion for all complete intersections.
Квадрикалық беттің қисықтары
квадраттық полиномнан туындаған, сингуляр емес симметриялық матрица арқылы берілген квадрикалық бет ретінде кіріктіріледі. Осыдан кейін, біз назарымызды қисықтарға ғана шоғырландыра аламыз. Біз әрбір бөлігіндегі котангенттік бундельдердің тікелей қосындысын қолдана отырып, котангенттік бундельді есептеуге болады, сондықтан ол . Содан кейін, каноникалық шоқ арқылы беріледі, оны векторлық бундельдердің тікелей қосындыларының сыртқы көбейтінділерінің жіктелуін пайдалана отырып табуға болады. Одан кейін, қосылу формуласын қолдана отырып, қиманың жоғалу локусымен анықталған қисықты келесідей есептеуге болады:
embeds into as a quadric surface given by the vanishing locus of a quadratic polynomial coming from a non singular symmetric matrix. We can then restrict our attention to curves on We can compute the cotangent bundle of using the direct sum of the cotangent bundles on each , so it is Then, the canonical sheaf is given by , which can be found using the decomposition of wedges of direct sums of vector bundles. Then, using the adjunction formula, a curve defined by the vanishing locus of a section , can be computed as
Қосымшаның бұрылуы
Қосымша формула коннормалдық нақты тізбек қысқа нақты тізбек болмағанда бұрыс болады. Дегенмен, осы қателікті пайдаланып X-тің ерекшеліктерін D-тің ерекшеліктерімен байланыстыруға болады. Осындай теоремалар қосылудың кері инверсиясы деп аталады. Олар қазіргі заманғы бирационалды геометриядағы маңызды құралдардың бірі болып табылады.
The adjunction formula is false when the conormal exact sequence is not a short exact sequence. However, it is possible to use this failure to relate the singularities of X with the singularities of D. Theorems of this type are called inversion of adjunction. They are an important tool in modern birational geometry.
Иілгіштерге қолдану
Жазық қисықтардың гендерлік дәрежесі формуласын қосу формуласынан шығаруға болады. C P2 d дәрежесі мен g туысы бар тегіс жазықтық қисық болсын. H P2 гипер жазықтығының класы, яғни түзудің класы болсын. P2-нің каноникалық класы −3H. Сәйкесінше, қосымша формула (d − 3)H-ның C-ға шектеуі C-ның каноникалық класына тең дейді. Бұл шектеу C-ға шектелген қиылысу көбейтіндісі (d − 3)H ⋅ dH-мен бірдей, сондықтан C-ның каноникалық класының дәрежесі d(d−3). Риманн-Рох теоремасы бойынша g − 1 = (d−3)d − g + 1, бұл формуланы білдіреді.
The genus degree formula for plane curves can be deduced from the adjunction formula. Let C ⊂ P2 be a smooth plane curve of degree d and genus g. Let H be the class of a hyperplane in P2, that is, the class of a line. The canonical class of P2 is −3H. Consequently, the adjunction formula says that the restriction of (d − 3)H to C equals the canonical class of C. This restriction is the same as the intersection product (d − 3)H ⋅ dH restricted to C, and so the degree of the canonical class of C is d(d−3). By the Riemann–Roch theorem, g − 1 = (d−3)d − g + 1, which implies the formula
Сонымен қатар, егер C P1 × P1 квадрикалық бетіндегі тегіс қисық болса, (d1,d2) бидегресімен (яғни d1,d2 – оның әр проекцияның P1 талшығымен қиылысу дәрежесі), ал P1 × P1 каноникалық класының бидегресі (−2,−2) болғандықтан, қосымша формула C-ның каноникалық класы (d1,d2) және (d1−2,d2−2) бидегресіндегі бөлгіштердің қиылысу көбейтіндісі екенін көрсетеді. P1×P1 бетіндегі қиылысу формасы бидегрейдің анықтамасы бойынша және билинеарлық қағидасы бойынша, сондықтан Риманн-Рох теоремасын қолданғанда немесе
Similarly, if C is a smooth curve on the quadric surface P1×P1 with bidegree (d1,d2) (meaning d1,d2 are its intersection degrees with a fiber of each projection to P1), since the canonical class of P1×P1 has bidegree (−2,−2), the adjunction formula shows that the canonical class of C is the intersection product of divisors of bidegrees (d1,d2) and (d1−2,d2−2). The intersection form on P1×P1 is by definition of the bidegree and by bilinearity, so applying Riemann–Roch gives or
P3 кеңістігіндегі D және E екі бетінің толық қиылысуынан пайда болған C қисығының гендерін қосымша формула қолдану арқылы есептеуге болады. D және E сәйкесінше d және e дәрежесіне ие болсын. D-ге қосымша формула қолданғанда, оның каноникалық бөлгіші (d − 4)H<nowiki> болады, бұл (d − 4)H және D қиылысуының көбейтіндісі. C толық қиылыс болғандықтан, E-ге де осыны қолдануға болады, нәтижесінде C-ның каноникалық бөлгіші (d + e − 4)H ⋅ dH ⋅ eH көбейтіндісіне тең, яғни ол de(d + e − 4) дәрежесіне ие. Риманн-Рох теоремасы бойынша, бұл C-ның гендері
The genus of a curve C which is the complete intersection of two surfaces D and E in P3 can also be computed using the adjunction formula. Suppose that d and e are the degrees of D and E, respectively. Applying the adjunction formula to D shows that its canonical divisor is (d − 4)H<nowiki>, which is the intersection product of (d − 4)H and D. Doing this again with E, which is possible because C is a complete intersection, shows that the canonical divisor C is the product (d + e − 4)H ⋅ dH ⋅ eH, that is, it has degree de(d + e − 4). By the Riemann–Roch theorem, this implies that the genus of C is
Ал жалпы жағдайда, егер C Pn кеңістігіндегі d1, …, dn−1 дәрежелі D1, …, Dn−1 гипербеттерінің толық қиылысы болса, индуктивті есептеу C-ның каноникалық класы екенін көрсетеді. Риманн-Рох теоремасы осы қисықтың гендері екенін білдіреді.
More generally, if C is the complete intersection of n − 1 hypersurfaces D1, , Dn − 1 of degrees d1, , dn − 1 in Pn, then an inductive computation shows that the canonical class of C is The Riemann–Roch theorem implies that the genus of this curve is
Төмен өлшемді топологияда
S күрделі бет (әсіресе 4 өлшемді көптүрлілік) және тегіс (сингуляр емес) байланысқан күрделі қисық болсын. Онда
Let S be a complex surface (in particular a 4 dimensional manifold) and let be a smooth (non singular) connected complex curve. Then
мұндағы – C қисығының роды, – өзімен-өзінің қиылысуы, ал – Кронекер жұптасуын білдіреді.
where is the genus of C, denotes the self intersections and denotes the Kronecker pairing .