Введение
В математике, особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий, формула присоединения связывает канонический расслоение многообразия и гиперповерхность внутри этого многообразия. Она часто используется для вывода свойств многообразий, вложенных в хорошо изученные пространства, такие как проективное пространство, или для доказательства теорем методом математической индукции.
Формула для гладкого подсорта
Пусть X — гладкое алгебраическое многообразие или гладное комплексное многообразие, а Y — гладкое подмногообразие X. Обозначим отображение включения Y → X через i, а идеальный пучок Y в X — через . Коннормальная точная последовательность для i имеет вид
где Ω обозначает кокасательный расслоение. Определитель этой точной последовательности является естественным изоморфизмом
где обозначает двойственное расслоение прямой суммы.
Гиперповерхности степени d
При наличии гладкой гиперповерхности степени *n* мы можем вычислить ее канонический и антиканонический пучки, используя формулу присоединения. Эта формула выглядит следующим образом: , что изоморфно .
Полные пересечения
Для гладкого полного пересечения степеней, конормальный расслоение изоморфно , следовательно, детерминантное расслоение равно , а его двойственное расслоение равно , что обобщается аналогичным образом для всех полных пересечений.
Кривые в квадратной поверхности
встраивается в квадратичную поверхность, заданную множеством нулей квадратичного многочлена, определяемого невырожденной симметричной матрицей. Затем мы можем ограничиться рассмотрением кривых на . Котангентный расслоение можно вычислить, используя прямую сумму котангентных расслоений на каждом , таким образом, оно равно . Далее, каноническое расслоение задается , которое можно найти, используя разложение внешних произведений прямых сумм векторных расслоений. Затем, применяя формулу присоединения, кривую, определяемую множеством нулей сечения , можно вычислить как
Перевод дополнения
Формула присоединения неверна, когда конормальная точная последовательность не является короткой точной последовательностью. Однако, эту несостоятельность можно использовать для установления связи между сингулярностями X и сингулярностями D. Теоремы подобного типа называются обращением формулы присоединения. Они являются важным инструментом в современной бирациональной геометрии.
Применение к кривым
Формула степени рода для плоских кривых может быть выведена из формулы присоединения. Пусть C ⊂ P² — гладкая плоская кривая степени d и рода g. Пусть H — класс гиперплоскости в P², то есть класс прямой. Канонический класс P² равен −3H. Следовательно, формула присоединения утверждает, что ограничение (d − 3)H на C равно каноническому классу C. Это ограничение совпадает с произведением пересечения (d − 3)H ⋅ dH, ограниченным на C, и, следовательно, степень канонического класса C равна d(d − 3). По теореме Римана — Роха, g − 1 = (d − 3)d − g + 1, что приводит к формуле
Similarly, if C is a smooth curve on the quadric surface P1×P1 with bidegree (d1,d2) (meaning d1,d2 are its intersection degrees with a fiber of each projection to P1), since the canonical class of P1×P1 has bidegree (−2,−2), the adjunction formula shows that the canonical class of C is the intersection product of divisors of bidegrees (d1,d2) and (d1−2,d2−2). The intersection form on P1×P1 is by definition of the bidegree and by bilinearity, so applying Riemann–Roch gives or
The genus of a curve C which is the complete intersection of two surfaces D and E in P3 can also be computed using the adjunction formula. Suppose that d and e are the degrees of D and E, respectively. Applying the adjunction formula to D shows that its canonical divisor is (d − 4)H<nowiki>, which is the intersection product of (d − 4)H and D. Doing this again with E, which is possible because C is a complete intersection, shows that the canonical divisor C is the product (d + e − 4)H ⋅ dH ⋅ eH, that is, it has degree de(d + e − 4). By the Riemann–Roch theorem, this implies that the genus of C is
More generally, if C is the complete intersection of n − 1 hypersurfaces D1, , Dn − 1 of degrees d1, , dn − 1 in Pn, then an inductive computation shows that the canonical class of C is The Riemann–Roch theorem implies that the genus of this curve is
Аналогично, если C — гладкая кривая на квадратичной поверхности P¹ × P¹ с двустепенью (d₁, d₂) (то есть d₁, d₂ — степени ее пересечения с волокном каждой проекции на P¹), то, поскольку канонический класс P¹ × P¹ имеет двустепень (−2, −2), формула присоединения показывает, что канонический класс C является произведением пересечения делителей двустепеней (d₁, d₂) и (d₁ − 2, d₂ − 2). Форма пересечения на P¹ × P¹ по определению является двулинейной относительно двустепени, поэтому применение теоремы Римана — Роха дает или
Similarly, if C is a smooth curve on the quadric surface P1×P1 with bidegree (d1,d2) (meaning d1,d2 are its intersection degrees with a fiber of each projection to P1), since the canonical class of P1×P1 has bidegree (−2,−2), the adjunction formula shows that the canonical class of C is the intersection product of divisors of bidegrees (d1,d2) and (d1−2,d2−2). The intersection form on P1×P1 is by definition of the bidegree and by bilinearity, so applying Riemann–Roch gives or
The genus of a curve C which is the complete intersection of two surfaces D and E in P3 can also be computed using the adjunction formula. Suppose that d and e are the degrees of D and E, respectively. Applying the adjunction formula to D shows that its canonical divisor is (d − 4)H<nowiki>, which is the intersection product of (d − 4)H and D. Doing this again with E, which is possible because C is a complete intersection, shows that the canonical divisor C is the product (d + e − 4)H ⋅ dH ⋅ eH, that is, it has degree de(d + e − 4). By the Riemann–Roch theorem, this implies that the genus of C is
More generally, if C is the complete intersection of n − 1 hypersurfaces D1, , Dn − 1 of degrees d1, , dn − 1 in Pn, then an inductive computation shows that the canonical class of C is The Riemann–Roch theorem implies that the genus of this curve is
Род кривой C, являющейся полным пересечением двух поверхностей D и E в P³, также можно вычислить, используя формулу присоединения. Предположим, что d и e — степени D и E соответственно. Применение формулы присоединения к D показывает, что его канонический делитель равен (d − 4)H, который является произведением пересечения (d − 4)H и D. Повторение этого для E, что возможно, поскольку C является полным пересечением, показывает, что канонический делитель C является произведением (d + e − 4)H ⋅ dH ⋅ eH, то есть он имеет степень de(d + e − 4). По теореме Римана — Роха это означает, что род C в более общем случае, если C — полное пересечение n − 1 гиперповерхностей D₁, …, Dₙ₋₁ степеней d₁, …, dₙ₋₁ в Pⁿ, то индуктивное вычисление показывает, что канонический класс C равен. Теорема Римана — Роха подразумевает, что род этой кривой равен
Similarly, if C is a smooth curve on the quadric surface P1×P1 with bidegree (d1,d2) (meaning d1,d2 are its intersection degrees with a fiber of each projection to P1), since the canonical class of P1×P1 has bidegree (−2,−2), the adjunction formula shows that the canonical class of C is the intersection product of divisors of bidegrees (d1,d2) and (d1−2,d2−2). The intersection form on P1×P1 is by definition of the bidegree and by bilinearity, so applying Riemann–Roch gives or
The genus of a curve C which is the complete intersection of two surfaces D and E in P3 can also be computed using the adjunction formula. Suppose that d and e are the degrees of D and E, respectively. Applying the adjunction formula to D shows that its canonical divisor is (d − 4)H<nowiki>, which is the intersection product of (d − 4)H and D. Doing this again with E, which is possible because C is a complete intersection, shows that the canonical divisor C is the product (d + e − 4)H ⋅ dH ⋅ eH, that is, it has degree de(d + e − 4). By the Riemann–Roch theorem, this implies that the genus of C is
More generally, if C is the complete intersection of n − 1 hypersurfaces D1, , Dn − 1 of degrees d1, , dn − 1 in Pn, then an inductive computation shows that the canonical class of C is The Riemann–Roch theorem implies that the genus of this curve is
В низкомерной топологии
Пусть S — комплексная поверхность (в частности, 4-мерное многообразие), а C — гладкая (неособая) связная комплексная кривая. Тогда
где g — род C,
обозначает число самопересечений, а
— спаривание Кронекера.